Первый способ

С математической точки зрения поставленная задача является задачей безусловной минимизации функции нескольких переменных. Функция F(c ₀, c ₁, c ₂, …, c_m) является квадратической одноэкстремальной, поэтому ее минимум можно искать, исходя из необходимых условий экстремума для функций нескольких переменных.

Запишем эти условия:

(3.5.4)

Сократив на 2, преобразуем систему линейных уравнений (3.5.4) к виду

(3.5.5)

Уравнения (3.5.5) называют нормальными. Матрица системы линейных уравнений (3.5.5) имеет вид

Г = (3.5.6)

Матрицу Г называют матрицей Грамма.

Введем обозначения:

j _i = (j _i (х ₀), j _i (х ₁), j _i (х ₂), …, j _i (х_n))^т, i = 0, 1, 2, …, m, (3.5.7)

y = (y ₀, y ₁, y ₂, …, y _n)^т; c = (c ₀, c ₁, c ₂, …, c_m)^т.

Тогда матрицу Грамма можно записать в более традиционном виде

Г = , (3.5.8)

а систему (3.5.6) – в матричной форме

Г c = g. (3.5.9)

Здесь (j _i, j _k), i, k = 0, 1, 2, …, m – cкалярное произведение векторов j _i и j _k;

g = (g₀, g₁, g₂, …, g _m)^т; g _i = (y, j _i), i = 0, 1, 2, …, m. (3.5.10)

Очевидно, что матрица Г симметричная. Можно показать, что она положительно определенная. Определитель матрицы Г (определитель Грамма) отличен от нуля в силу линейной независимости базисных функций j₀(х), j₁(х), j₂(х), j _m (х). Следовательно, система (3.5.4) имеет единственное решение, которое может быть найдено любым из известных методов решения систем с симметричной положительно определенной матрицей. В результате решения системы (3.5.4) будут найдены значения модельных параметров и определена наилучшая в смысле МНК модель j (х,

Процесс построения наилучшей в смысле метода наименьших квадратов аппроксимации таблично заданной на отрезке [ a, b ] функции можно представить в виде следующего алгоритма.