Основные понятия. Численное дифференцирование является одной из важнейших вычислительных операций

Численное дифференцирование является одной из важнейших вычислительных операций. Это объясняется тем, что достаточно много вычислительных алгоритмов предполагает вычисление и использование производных различного порядка от исследуемых функций. При этом довольно распространенной является ситуация, когда аналитическое задание функции, производные которой требуется найти, либо слишком сложное, либо вообще отсутствует, что не позволяет использовать аппарат аналитического дифференцирования и остается лишь возможность численного нахождения производных. Методы численного дифференцирования рассматриваются в § 4.2.

Другой важной в практическом отношении является задача вычисления определенных интегралов. При решении этой задачи, так же как и при численном дифференцировании, очень часто не представляется возможным найти определенный интеграл с помощью аналитических методов и приемов интегрального исчисления ввиду отсутствия аналитического задания функции либо его чрезмерная сложность для интегрирования. Кроме того, существуют так называемые неберущиеся итегралы. Это объясняется тем, что не для всех интегрируемых функций первообразная может быть представлена в конечном виде. Зачастую для нахождения определенных интегралов можно использовать только численное интегрирование. Формулы численного интегрирования называются квадратурными. (Методы численного интегрирования и некоторые аспекты их практического применения рассматриваются в § 4.3 и 4.4.)

Как и ранее, будем исходить из табличных значений исследуемой функции f (x) на некотором отрезке [ a, b ]. Другими словами, будем считать, что значения функции f (x) на отрезке [ a, b ] заданы в узлах одномерной сетки

h _x ={ x_i / x_i = x_{i– 1} + h_i, h_i > 0, i = 1, 2, 3, …, n; x ₀ = a, x_n = b }, (4.1.1)

где x_i, i = 0, 1, 2, …, n – узлы одномерной сетки; h_i, i = 1, 2, 3, …, n – ее шаг.

Если h_i = h " i = 1, 2, 3, …, n, сетка h _x равномерная.