Прогрессивная интерполяция (метод усреднения)

Данный метод является простейшим методом повышения представительности измеренных значений за счет сглаживания случайных выбросов сигнала. Он используется главным образом в тех случаях, когда данные процесса служат для его контроля. Среднее значение формируется на основе измеренных значений по N циклам считывания:

Отдельные значения S суммируются. После выполнения суммирования вычисляется среднее значение путем деления суммы на число N. Шум, в данном случае, рассматривается в виде стационарного некоррелируемого процесса и характеризуется значением математического ожидания E(n), которое при достаточном числе проб стремится к нулю E(n)=0. Среднее арифметическое из суммы выборок сигнала с наложенным на него шумом будет равно: ,

где N - количество выборок в группе,

i - номер отсчета сигнала,

k - текущая выборка.

N должно выбираться не более необходимого для нахождения отсчета сигнала. Можно записать: .

Если частота выборок сигнала превышает высшую частоту спектра сигнала , то , откуда .

Поскольку среднее значение шума равно нулю, то значит в пределе при достаточно большом N мы должны получить в результате суммирования значение сигнала без примеси шума. Так как E(n)=0, доля примеси шума зависит от величины его дисперсии. Учитывая, что дисперсия случайной величины x равна запишем:

Если считать, что выборки не коррелируют друг с другом, можно окончательно записать, т.к. :

Это означает, что при усреднении N выборок сигнала и шума ожидаемое среднее значение амплитуды соответствует амплитуде сигнала, а дисперсия составляет . Поскольку среднее значение шума равно нулю, тогда для усредненного сигнала по N выборкам каждый отсчет .

.

Отсюда следует, что отношение сигнал/шум должно расти при усреднении пропорционально значению .

Несмотря на кажущуюся сложность реализации прогрессивной интерполяции (необходимость использования интегратора или сумматора, усредняющего устройства и интерполятора), а также существенное запаздывание, подобный метод сглаживания в системах уплотнения информации имеет ряд преимуществ перед запаздывающей фильтрацией, особенно в тех случаях, когда передаточная функция оптимального фильтра имеет высокий порядок. В подобной ситуации осуществить оптимальный фильтр бывает довольно сложно, и к тому же возникает проблема обеспечения устойчивости системы в целом.

Применение данного метода сглаживания помех имеет и ряд существенных ограничений:

Во-первых, как и метод цифровой фильтрации, метод усреднения эффективно применим для сигналов с низкой динамикой изменения и с высокочастотным сигналом помехи.

Во-вторых, данный метод характеризуется относительно большими временными затратами, т.к. при увеличении числа N, значительно увеличивается временная задержка формирования результирующих значений и резко возрастают требования к быстродействию аппаратуры сбора данных. Поэтому в случае быстроизменяющихся процессов, в которых вслед за сбором данных должны выполняться расчеты и выдаваться управляющие сигналы, метод прогрессивной интерполяции мало пригоден.

Широкое распространение на практике находит алгоритм «скользящего среднего», в котором также используется усреднение. В данном алгоритме с приходом каждой новой выборки усредняются последние N зашумленных выборок, а в канал передается поток отфильтрованных выборок, следующих с той же частотой, что и исходные. Не уступая в качестве сглаживания алгоритму прогрессивной интерполяции, алгоритм «скользящего среднего», может применяться для сглаживания более динамичных сигналов