2015-04-01
300
Определение 8.3. Уравнения, содержащие тригонометрические функции, называются тригонометрическими.
Рассмотрим первоначально основные виды и способы решения простейших тригонометрических уравнений.
, 
, 
.
, , .
, , 
.
, , .
Пример 8.10. Решить уравнение 
.
Решение.
, 
, .
Ответ: 
, .
Пример 8.11. Решить уравнение 
.
Решение. 
, 
, 
, .
Ответ: 
, .
Пример 8.12. Решить уравнение 
.
Решение. 
,
, 
, .
Ответ: 
, .
Пример 8.13. Решить уравнение 
.
Решение. 
,
, .
Ответ: 
, .
Пример 8.14. Решить уравнение 
.
Решение. Воспользуемся четностью функции 
, тогда
,
, .
Ответ: 
, .
Пример 8.15. Решить уравнение 
.
Решение. Учитывая нечетность функции 
, имеем
, .
Ответ: 
, .
Если уравнение не является простейшим, то с помощью тождественных преобразований его нужно привести к одному или нескольким простейшим. Отметим, что не существует единого алгоритма решения тригонометрических уравнений. Выделим некоторые методы решения тригонометрических уравнений.
1. Разложение на множители.
2. Однородные уравнения.
|
|
|
Определение 8.4. Однородными тригонометрическими уравнениями 
й степени относительно 
и называются уравнения вида:
 ,
| (8.3) |
где 
- действительные числа, 
. Сумма показателей степени при и у всех слагаемых уравнений равна 
.
Замечание 8.1. Отметим, что не может быть равен нулю, так как при 
исходное уравнение примет вид: 
, откуда 
, что невозможно, поскольку и не могут равняться нулю одновременно.
Разделим уравнение (8.3) на 
, тогда имеем
 ,
| (8.4) |
В (8.4) сделаем замену 
, тогда получим алгебраическое уравнение
.
3. Введение вспомогательного аргумента (при этом используются формулы (8.1), (8.2)).
4. Метод оценки левой и правой части. Такие уравнения решаются путем сведения к системе тригонометрических уравнений.
5. Использование формул понижения степени (формул половинного аргумента).
Пример 8.16. Решить уравнение 
.
Решение. 
, 
.
Ответ: 
; 
, .
Пример 8.17. Решить уравнение 
.
Решение. 
, 
.
Так как при 
, 
, решения первого и третьего уравнения совокупности совпадают, то получаем: 
, и 
, 
.
Ответ: 
; 
, , .
Пример 8.18. Решить уравнение
.
Решение. Используя четность функции и формулы приведения, получаем
, 
.
Тогда исходное уравнения примет вид:
.
Так как 
, то 
. Тогда из последнего уравнения имеем:
,
,
, 
, .
Ответ: 
, .
Пример 8.19. Решить уравнение 
.
