О с н о в н ы е ф о р м у л ы д и ф ф е р е н ц и р о в а н и я

(1) (C)'=0 (2) (х ⁿ)'=nxⁿ

(3) (x)'=1 (4) ()'=

(5) (sinx)'= cosx (6) (cosx)'=- sinx

(7) (tgx)'= (8) (ctgx)'=-

(9) (a )'= a lna (10) (e )'= e

(11) (log x)'= (12) (lnx)'=

(13) (u ±υ)'= u'± υ' (14) (uυ)'= u ' υ + uυ '

(15) (Cu)'= Cu' (16) '=

Если у = f (x), а u = φ (x), то f (u) называется функцией от функции (или сложной функцией от (х)). Тогда справедливо следующее правило дифференцирования функции:

(17) , или у '= ƒ (u) u '

Пример 1. Найти производные функции:

а) у =5,6;

б) у = tg (π/4);

в) у=ln 2.

Р е ш е н и е. Используя формулу (1), имеем

а) (5,6)'=0;

б) (tg (π/4)'=0;

в) (ln2)'=0.

Пример 2. Найти производные функции:

а) у = х ;

б) у = ;

в) у = х .

Р е ш е н и е. Используя формулу (2), получим:

а) (х )'=6 х ;

б) '= ;

в) .

Пример 3. Найти производные функций:

а) ƒ (t)= 9t ;

б) ƒ (х)= ;

в) ƒ (х)=(2х-3) (3х+1);

Р е ш е н и е. а) Используя формулы (13), (3), (15) и (2) находим:

а) ƒ '(t)=(9t )' = (9t ;

б) По формуле (16) получаем:

ƒ '(х)= ;

Используя формулы (13), (15) и (3) находим:

ƒ' (х)=

в) По формуле (14) имеем ƒ' (х)=(2х-3)'(3х+1)+(2х-3)(3х+1)'

Используя формулы (13), (15) и (3), находим:

ƒ'(х) = 2(3х +1) + (2х -3)3 = 6х + 2 + 6х -9 =12х -7.

Пример 4. Продифференцировать функцию ƒ (х)=(1-х .

Р е ш е н и е. По формуле (17) получаем

f'(x)=5(1-x

По формулам (13), (1) и (2) находим

f'(x)=5(1-х .

Частный случаи формулы (17):

(18) (. (19) (sin u)' = cos u·u'

(20) ( cos u)'=- sin u · u ' (21) (tgu)'= .

(22) (ctg u)'=- 23) (.

(24) (. (25) (log

(26) (ln u)'=

Пример 5. Найти производную функции y =ln(x .

Р е ш е н и е. По формуле (26) находим y'=

Пример 6. Найти производную функцию (.

Р е ш е н и е. По формуле (24) получим

(

Пример 7. Найти производную функции:

а) y =cos(x ;

б) y = tg (4 x -5);

в) y =ln sin3 x.

Р е ш е н и е.

а) (cos(x

(использована формула (20));

б) (tg(4x-5))'= (использована формула (21);

в) (ln sin3x)'= (использованы формулы (26) и (19)).

Пример 8. Найти производную функции:

а) y =cos x ;

б) y =ctg .

Р е ш е н и е.

а) (cos x (использована формула (20));

б) (ctg

(использована формула (22)).

Пример 9. Найти производную функции f (x)= .

Р е ш е н и е. Представим корни в виде степеней и разделим почленно числитель дроби на знаменатель:

f (x) =

Дифференцируя, имеем

f '(x)= -

Пример 10. Дана функция f (x)= sin . Найти ƒ' (π/6).

Р е ш е н и е. Данная функция является степенной (sin2 x) . По формуле (18) находим . Затем по формуле (19) получим

f ' (x)=5(sin 2 x)

Вычислим значение найденной производной при x = π /6:

.

Пример 11. Найти производную функцию y= ln

Р е ш е н и е.Предварительно прологарифмировав, получим

y = .

Продифференцируем полученную функцию, используя формулы (26), (6), (2), (15):

y '=

Пример 12. Решить уравнение ƒ '(x)=g'(x)+2 x, если ƒ (x)= , а g(x)= .

Р е ш е н и е. Найдем производные функции f (x)= x и g (x)= x :

f ' (x)=2 x; g'(x)=3 x .

Представим найденные значения этих производных в заданное уравнение. После этой подстановки оно примет вид

Ответ: х=0

Пример 13. Решить уравнение ƒ '(x)- ƒ (x)=0, если f (x)= x .

Р е ш е н и е. Найдем производную функции ƒ '(х)= х , f ' (x)=3 x . Подставим саму функцию и её производную в заданное уравнение и решим его:

3 х

Ответ: .

Пример 14. Решить уравнение , если .

Р е ш е н и е. Подставляем функцию и её производную в заданное уравнение:

.

§2. Приложение производной.

Геометрические приложения: Пусть кривая L является графиком непрерывной функции у = f (x). Рассматриваем на кривой точку М (х ₀; у ₀)

y и проведем касательную к графику функции

в этой точке. Значение производной функции

y₀ M(x₀-y₀) y = f (x) у = f (x) в точке х₀ равно угловому коэффициенту

k касательной, проведенной к графику функции

в точке М (х ₀; у ₀), т.е. f' (x₀)= k. Угловой

коэффициент k равен тангенсу угла наклона

0 x₀ х касательной с положительным направлением оси Ох.

Уравнение касательной к графику функции у = f (x), проходящей через точку М (х ₀; у ₀), имеет вид

y - f (x ₀)- f' (x ₀)(x - x₀)

Пример 1. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к параболе y =2 x ² в точке, абсцисса которой равна единице.

Р е ш е н и е. Для вычисления углового коэффициента касательной найдем производную функции y =2 x ² и вычислим её значение при х =1:

y' =(2 x ²)'=4 x; y' (1)=4·1=4; k = y '(1)=4

Пример 2. Найти угол наклона касательной к оси Ох и уравнение касательной к параболе у = х ²- х +1 в точке с абсциссой х₀=-1.

Р е ш е н и е. Для вычисления угла наклона касательной найдем значение производной данной функции в точке абсциссой х ₀=-1:

y'= (x ² – x + 1)' = 2 x -1; y' (-1) = 2·(-1) -1 = -3

Находим угол наклона касательной к оси Ох:

k = y ' (- 1) = tga = - 3, откуда а = 108º26'

Уравнение касательной в точке с абсциссой х ₀ имеет вид

y = f (x ₀) = f' (x ₀)(x - x ₀).

Найдем значение функции в точке х ₀=-1:

f (-1) =(-1)² - (-1) + 1 =3

Подставив значение f (-1)=(-1)¹(-1) x₀=-1 в уравнении касательной,

получим y – 3= (-3) (x -(-1)); у = -3 х.

Физические приложения.

Пример 1. Скорость тела, движущегося прямолинейно, выражается законом υ(1)=3t + 6t². Какое ускорение будет иметь тело через 5с после начала движения?

Р е ш е н и е. Известно, что α(t)=υ΄(t). Находим α(t)=υ ́(t)=3 +12t; при t=5 получим α(5)=3 + 12·5=63 (м/с²).

Пример 2. Тело движения прямолинейно по закону s(t)=5+4t+t². Найти его скорость и ускорение в момент времени t=1_с.

Р е ш е н и е. Известно, что . Находим Зная, что , находим м/с²), откуда .

§3. Приложения производной к исследованию функции и построению графиков.

Пример. Исследовать функцию и построить её график.

Р е ш е н и е.

1. Область определения функции есть множество всех действительных чисел.
2. Область изменения функций есть множество всех действительных чисел.
3. Функция четная, так как

.

Значит, график функции симметричен относительно оси Оу.

4. Найдем производную

.

5. Находим критические точки функции, т.е. значения х, при которых у ^΄́=0.

Имеем х (х ²-3)=0; х ₁=0; х ² – 3=0; х ² =3; х _2,3=± .

6. Вычислим значение функции в критических точках.

; =- ; = - .

Составим таблицу:

х	х < -	-	- < х < 0		0 < х <		< х
у'	-		+		-		+
у
		min		max		min

В первой строке таблицы указаны в порядке возрастания критические точки функции и ограниченные ими промежутки. Во второй строке отмечены

у знаки производной в этих промежутках

(поскольку на каждом таком промежутке

найти, определив знак производной в

какой-либо точке рассматриваемого

промежутка). В третьей строке записаны - - выводы о ходе изменения данной

0 х функции: -возрастает, - убывает

а в четвертой – о виде критических точек.

-

7. Находим точки пересечения с осью Ох. Полагая у =0, получим

; .

8. Строим график функции (см. выше)

Это построение удобно вести по промежуткам, которые приведены в таблице. Например, в таблице указано, что функция убывает на интервале

0< х < . Так данная функция непрерывна в точке 0 и (будучи непрерывной всюду), то она убывает и на отрезке 0 < х < . Поэтому график убывает на этом отрезке от значения у (0)=0 до значения у () =-9/4. Аналогично строится график и на остальных промежутках.

Вопросы для самопроверки:

1. Сформулируйте определение производной.
2. В чём заключается геометрический смысл производной.
3. Чему равна производная от постоянной величины.
4. Сформулируйте правила дифференцирования суммы, произведения, частного двух функций.
5. Сформулируйте правила дифференцирования сложной функции.
6. Напишите формулы дифференцирования элементарных функций.