Понятие множества и способы его задания

Тема 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ

Цели и задачи изучения темы

В данной теме рассматриваются базовые понятия дискретной математики, такие как множество, вектор, соответствия и др.

Множества. Соответствия, отображения, функции, отношения

Понятие множества и способы его задания

Понятие множества является первичным понятием математики, следовательно, не имеет строгого определения. Под множеством понимают объединение в одно целое различных объектов. Порядок объектов во множестве не важен.

Объекты, которые образуют множество, называют элементами множества. Для обозначения множеств обычно используют большие буквы, а для обозначения элементов используют малые буквы. Если элемент m принадлежит множеству M, то используют запись m Î M, в противном случае m Ï M.

Множество M, содержащее конечное число элементов, называют конечным. Число элементов такого множества называют мощностью множества и обозначают | M |.

Множество, содержащее бесконечное число элементов, называют бесконечным. Бесконечные множества также классифицируются по мощности. Такая классификация будет рассмотрена в дальнейшем после введения понятия взаимно однозначного соответствия.

Множество M не содержащее ни одного элемента называют пустым и обозначают Æ.

Множество A называют подмножеством множества B, если любой элемент A является элементом B. При этом говорят, что B содержит или покрывает A. Это обозначается A Í B.

Пустое множество принято считать подмножеством любого множества.

Множества A и B равны (A = B), если они составлены из одних и тех же элементов (A Í B и B Í A).

Если A Í B и A ¹ B, то A называют собственным (истинным, строгим) подмножеством B. Это обозначается A Ì B.

Множества можно задавать:

· перечислением элементов;

· процедурой, порождающей элементы;

· описанием характеристических свойств элементов.

Перечислением элементов могут быть заданы только конечные множества. Список элементов обычно заключается в фигурные скобки, например, A ={ a, b, c, d }.

Порождающая процедура описывает способ получения элементов множества из уже полученных элементов либо из других объектов, например, множество M ₂ ⁿ =1,2,4,8,… может быть определено двумя правилами:

1) 1Î M ₂ ⁿ

2) если m Î M ₂ ⁿ, то 2 m Î M ₂ ⁿ.

Распространенной порождающей процедурой является образование множества из других множеств с помощью операций над множествами, которые будут рассмотрены в дальнейшем.

Множество также можно задать описанием характеристических свойств элементов. Например, множество M ₂ ⁿ образуют целые числа, являющиеся степенями двойки.

В случае, когда свойство элементов множества M может быть описано коротким выражением P (x), то для задания M используют запись M ={ x | P (x)}, которая читается так M – это множество всех элементов x, обладающих свойством P (x). Например, M ₂ ⁿ ={ x | x =2 ^k, k Î N ₀}, где N ₀={0,1,2,...} - множество целых неотрицательных чисел.