Приложение векторной теории к решению задач
Координаты вектора:
Длина вектора:
Координаты C - середины отрезка AB: , ,
Направляющие конусы вектора :
.
Косинус угла между векторами и можно найти по формуле:
Для нахождения площади треугольника ABC используется геометрический смысл модуля векторного произведения векторов и , на которых построен треугольник ABC:
Для нахождения объема пирамиды ABCD, используется геометрический смысл смешанного произведения векторов , и , на которых построена пирамида:
Пример1: Даны точки: A(4; -3; 5), B(6; -2; 3;), C(1; 2; 8), D(4; -2; 1).
Найти: 1) координаты вектора , его длину и направляющие косинусы; 2) угол между векторами и ; 3) площадь треугольника ABC; 4) объем пирамиды ABCD. Сделать чертеж.
Решение: 1) Найдем координаты вектора по формуле
Длину вектора вычислим по формуле ,
где X, Y, Z – координаты вектора.
Имеем: .
Направляющие конусы вектора найдем по формулам:
. Получаем:
2) Косинус угла между векторами и можно найти по формуле:
Найдем координаты вектора и его длину:
.
Таким образом, .
Тогда .
3) Для нахождения площади треугольника ABC используем геометрический смысл модуля векторного произведения векторов и , на которых построен треугольник ABC:
Найдем координаты векторов , а затем векторное произведение векторов:
. Тогда
4) Найдем объем пирамиды ABCD, используя геометрический смысл смешанного произведения векторов , и , на которых построена пирамида:
.
Найдем смешанное произведение векторов:
;
Чертеж сделать самостоятельно.