Второе достаточное условие экстремума

Пусть в точке x ₀ первая производная равна нулю: f (x ₀) = 0, т.е. точка x ₀ является стационарной точкой функции f (x). Пусть также в этой точке существует вторая производная f '' (x ₀). Тогда:

• Если f '' (x ₀) > 0, то x ₀ является точкой строгого минимума функции f (x);
• Если f '' (x ₀) < 0, то x ₀ является точкой строгого максимума функции f (x).

Доказательство.
В случае строгого минимума f '' (x ₀) > 0. Тогда первая производная представляет собой возрастающую функцию в точке x ₀. Следовательно, найдется число δ > 0, такое, что

∀ x ∈ (x ₀ − δ, x ₀) ⇒ f ' (x) < f ' (x ₀),

∀ x ∈ (x ₀, x ₀ + δ) ⇒ f ' (x) > f ' (x ₀).

Поскольку f ' (x ₀) = 0 (так как x ₀ − стационарная точка), то следовательно, в δ -окрестности слева от точки x ₀первая производная отрицательна, а справа − положительна, т.е. первая производная меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку x ₀. По первому достаточному признаку экстремума это означает, что x ₀ − точка строгого минимума.

Аналогично рассматривается случай максимума.

Второй достаточный признак экстремума удобно применять, когда вычисление первых производных в окрестности стационарной точки затруднительно. С другой стороны, второй признак можно использовать лишь для стационарных точек (где первая производная равна нулю) − в отличие от первого признака, который применим к любым критическим точкам.