Определение наибольшего и наименьшего значения функции

Рассмотрим функцию y = f (x), которая является непрерывной на отрезке [ a, b ]. Если существует точка x ₀∈ [ a, b ], такая, что для всех x ∈ [ a, b ] выполняется неравенство f (x) ≤ f (x ₀), то говорят, что функция f (x) принимает в точке x ₀ наибольшее (максимальное) значение на отрезке [ a, b ].

Наибольшее значение функции f (x) на отрезке [ a, b ] является одновременно точной верхней гранью множества значений функции на этом отрезке и обозначается как

Аналогично, если существует точка x ₀∈ [ a, b ], такая, что для всех x ∈ [ a, b ] выполняется неравенство f (x) ≥ f (x ₀), то функция f (x) принимает в точке x ₀ наименьшее (минимальное) значение на отрезке [ a, b ].

Наименьшее значение функции f (x) на отрезке [ a, b ] является также точной нижней гранью множества значений функции на этом отрезке и записывается в виде

Введенные понятия характеризуют поведение функции на конечном отрезке, в отличие от локального экстремума, который описывает свойства функции в малой окрестности точки. Поэтому наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке часто называют также глобальным (абсолютным) максимумом или, соответственно, глобальным минимумом.