Регрессионный анализ. Пусть дана выборка значений двумерной с

Пусть дана выборка значений двумерной с. в. (X,Y)={(x ₁, y ₁), (x ₂, y ₂) … (x_n, y_n)}, где n – объем двумерной выборки. Первым шагом в построении эмпирического уравнения регрессии между с. в. является графическое отображение значений двумерной с. в. в виде точек (x ₁, y ₁),..., (x_n, y_n) на плоскости X - Y, называемое диаграммой рассеяния (корреляционным полем) (рисунок 2).

а)		б)
в)		г)
Рисунок 2 – Диаграмма рассеяния, соответствующая линейной (а), экспоненциальной (б), параболической (в) регрессионной зависимости и отсутствию регрессионной зависимости (г)

Визуальный анализ диаграммы рассеяния и предметная постановка задачи (физический смысл рассматриваемых величин) позволяет сделать предположение о виде уравнения регрессии. Если предполагается, что зависимость между с. в. X и Y линейна (рисунок 2, а), то теоретическая модель регрессионной зависимости между с. в. задается уравнением (1) – теоретической моделью линейной регрессии Y на X:

M [ Y | X = x ] = b₀ + b₁ x, (1)

т. е. для каждого Х = х_i имеется условное распределение с. в. Y со средним значением (b₀ + b₁ x_i). Таким образом, для каждого i -го наблюдения справедлива следующая зависимость:

= b₀ + b₁ x_i + e_i, , (2)

где у_i – i -е выборочное значение с. в. Y;

b₀ – параметр линейной регрессии, требующий определения;

b₁ – параметр линейной регрессии, требующий определения;

х_i – i -е выборочное значение с. в. Х;

e_i – ошибка, вызванная отклонением i -го наблюдения с. в. Y от условного среднего М [ Y | X = х_i ]. Ошибки e_i обусловливаются упрощением вида зависимости Y от X (без учёта всех влияющих факторов), а также возможной ошибкой в выборе формы регрессии (в действительности она может описываться другим уравнением).