Момент импульса тела относительно неподвижной оси

Рис.1.18. Момент импульса тела относительно неподвижной оси

Рассмотрим i-ю точку твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Oz (рис.1.18). Если и - масса и скорость точки, а - ее радиус-вектор относительно т. О, то момент импульса точки равен: , а его модуль . Здесь учтено, что векторы и взаимно перпендикулярны . Проекция момента импульса на ось Oz равна:

,

где - радиус окружности, по которой движется i-я точка при вращении тела; - угловая скорость вращения.

Момент импульса всего тела относительно оси O_z

(1.46)

Произведение массы точки на квадрат ее кратчайшего расстояния до оси вращения называется моментом инерции точки относительно этой оси:

. (1.47)

Величина

(1.48)

называется моментом инерции тела относительно этой оси.

С учетом (1.48) перепишем (1.46) в виде:

. (1.49)

Подставим (1.49) в уравнение (1.45) вращательного движения тела относительно оси O_z:

,

(1.50)

Это уравнение справедливо только в том случае, когда . Из сравнения (1.50) со вторым законом Ньютона можно сделать вывод, что момент инерции является мерой инерции твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, и учитывает не только массу, но и ее распределение относительно оси вращения.