2015-04-30
754
Краткая теория:
Интерполяцией функции f(x) называется замена ее функцией φ(x) определенного класса, совпадающей с f(x) в точках xk. Существует множество способов поиска интерполирующей функции: интерполяционный многочлен Лагранжа, интерполяционный многочлен Ньютона, интерполирование сплайнами и др.
Интерполяционный многочлен Лагранжа: пусть на отрезке [a,b] некоторая функция f(x) задана лишь в некоторых точках a £ x0<x1<…<xn £ b, т.е. известны ее значения yi=f(xi), i=0, 1, … n, которые, как правило, собирают в таблицу. Кроме того, пусть задана некоторая точка cÎ[a,b]. Задача состоит в том, чтобы по имеющейся таблице найти число f(c) с известной степенью точности.
Вычисление значения f(c) производят по формуле:
.
Этот многочлен называется многочленом Лагранжа таблицы значений функции.
Интерполяционный полином Ньютона: выражает многочлен Pn(x) через значение f(x) в одном из узлов и через разделенные разности функции f(x), построенные по узлам xj. Разделенными разностями первого порядканазываются отношения
|
|
|
.
По разделенным разностям первого порядка можно построить разделенные разности второго порядка:
,
,
.
Аналогично определяются разделенных разностей более высокого (k+1) -ого порядка по уже известным разностям порядка k:
Интерполяционный многочлен Ньютона имеет вид:
Решение задачи:
Построить график интерполяционного многочлена Лагранжа, если заданы точки:
Таблица 1 – Координаты точек
| х | y |
| -4.4 | |
| 4.6 | |
| -1.7 | |
| -10 |
Решение:
Требуется подставить данные таблицы в формулу интерполяционного многочлена Лагранжа:
Упростив выражение и подставив промежуточные значения из данного отрезка [0;8], данные можно свести в таблицу.
Таблица 2 – Промежуточные значения функции, полученные с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа
| x | y | x | y | x | y | x | y |
| 0,00 | 0,00 | 2,00 | -4,40 | 4,00 | 4,60 | 6,00 | -1,70 |
| 0,20 | -2,73 | 2,20 | -3,30 | 4,20 | 4,77 | 6,20 | -3,02 |
| 0,40 | -4,74 | 2,40 | -2,15 | 4,40 | 4,74 | 6,40 | -4,36 |
| 0,60 | -6,12 | 2,60 | -0,99 | 4,60 | 4,52 | 6,60 | -5,68 |
| 0,80 | -6,95 | 2,80 | 0,14 | 4,80 | 4,11 | 6,80 | -6,94 |
| 1,00 | -7,31 | 3,00 | 1,20 | 5,00 | 3,52 | 7,00 | -8,07 |
| 1,20 | -7,27 | 3,20 | 2,17 | 5,20 | 2,75 | 7,20 | -9,04 |
| 1,40 | -6,89 | 3,40 | 3,01 | 5,40 | 1,82 | 7,40 | -9,78 |
| 1,60 | -6,25 | 3,60 | 3,71 | 5,60 | 0,75 | 7,60 | -10,23 |
| 1,80 | -5,40 | 3,80 | 4,24 | 5,80 | -0,43 | 7,80 | -10,33 |
| 8,00 | -10,00 |
График интерполяционного многочлена Лагранжа имеет вид, представленный на Рисунке 1.
Рисунок 1 – Интерполяционный многочлен Лагранжа
