Функция Лапласа

Функцией Лапласа называется функция вида

Свойства:

1) при z>0 функция Лапласа определяет вероятность попадания нормальной случайной величины с параметрами

MX=0

DX=1

в интервале (0, z)

2)

3) - функция нечетная

Норм распр в SPSS:

Многочисленные методы, с помощью которых обрабатываются переменные, относящиеся к интервальной шкале, исходят из гипотезы, что их значения подчиняются нормальному распределению. При таком распределении большая часть значений группируется около некоторого среднего значения, по обе стороны от которого частота наблюдений равномерно снижается.

В качестве примера рассмотрим нормальное распределение возраста, которое строится по данным исследований гипертонии (файл hyper.sav) с помощью команд меню Graphs (Графы) Histogramm... (Гистограмма) (см. рис. 5.1).

На диаграмме нанесена кривая нормального распределения (Колокол Гаусса). Реальное распределение в большей или меньшей степени отклоняется от этой идеальной кривой. Выборки, строго подчиняющиеся нормальному распределению, на практике, как правило, не встречаются. Поэтому почти всегда необходимо выяснить, можно ли реальное распределение считать нормальным и насколько значительно заданное распределение отличается от нормального.

Перед применением любого метода, который предполагает существование нормального распределения, наличие последнего нужно проверять в первую очередь. Классическим примером статистического теста, который исходит из гипотезы о нормальном распределении, можно назвать t-тест Стьюдента, с помощью которого сравнивают две независимые выборки. Если же данные не подчиняются нормальному распределению, следует использовать соответствующий непараметрический тест, в случае двух независимых выборок — U-тест Манна и Уитни.

Если визуальное сравнение реальной гистограммы с кривой нормального распределения кажется недостаточным, можно применить тест Колмогорова-Смирнова, который находится в меню Analyze (анализ данных) в наборе непараметрических тестов (см. раздел 14.5).

Рис. 5.1: Распределение возраста

В нашем примере с распределением возрастов тест Колмогорова-Смирнова не показывает значительного отклонения от нормального распределения.

Еще одну возможность проверки наличия нормального распределения дает построение графика нормального распределения (см. разделы 10.4.1, 22.12), в котором наблюдаемые значения сопоставляются с ожидаемыми при нормальном распределении.

Измерение. Существует множество определений «измерения», несколько от­личающихся друг от друга в зависимости от точки зрения ис­следователя. Общим во всех определениях является, по-види­мому, следующее: измерение есть приписывание чисел вещам? в соответствии с определенными правилами. Измерить рост че­ловека— значит приписать число расстоянию между макушкой человека и подошвой его йог, найденному с помощью линейки. Измерение коэффициента интеллектуальности (1Q) ребенка — это присвоение числа характеру ответной реакции, возникающей у него на группу типовых задач. Измерение преобразует опре­деленные свойства наших восприятий в известные, легко под­дающиеся обработке веши, называемое «числами». Каким не- выносимым был бы мир, если бы мы не измеряли! Разве не полезно физику знать, что сталь плавится при высокой темпе­ратуре, а путешественнику, —что Чикаго —это «город, вытянутый вдоль спускающегося вниз шоссе»? Известно, какую важную роль играет измерение в педагогике и почти в каждом социальном предприятии.

16. Измерительные шкалы.

Представления о «шкалах измерений» образуют полезную группу понятий, Этими проблемами интересовались бихевиори* сты и некоторые другие ученые. Теперь мы кратко рассмотрим различные шкалы и их применение в статистике.

Шкала измерения – ограничение типа отношений между значениями переменных, накладываемое на результаты измерений. Чаще всего, шкала измерения зависит от инструмента измерения.

К примеру, если переменной является цвет глаз, то мы не можем сказать, что один человек больше или меньше другого по этой переменной, мы так же не можем найти среднее арифметическое цвета. Если переменной является порядок (именно порядок) рождения детей в семье, то мы можем сказать, что первый ребенок однозначно старше второго, но не можем сказать на сколько он старше (отношения «больше/меньше»). Имея результаты теста интеллекта, мы можем однозначно сказать на сколько один человек интеллектуальнее другого. С.Стивенс рассматривал четыре шкалы измерения:

1. Шкала наименований - простейшая из шкал измерения. Примером шкалы такого рода может служить классификация испытуемых на мужчин и женщин, нумерация игроков спортивных команд, номера телефонов, паспортов, штрих-коды товаров. Все эти переменные не отражают отношений больше/меньше, а значит являются шкалой наименований. Числа (равно как буквы, слова или любые символы) используются для различения объектов. Отображает те отношения, посредством которых объекты группируются в отдельные непересекающиеся классы. Номер (буква, название) класса не отражает его количественного содержания.

Особым подвидом шкалы наименований является дихотомическая шкала, которая кодируется двумя взаимоисключающими значениями (1/0). Пол человека является типичной дихотомической переменной.

В шкале наименований нельзя сказать, что один объект больше или меньше другого, на сколько единиц они различаются и во сколько раз. Возможна лишь операция классификации — отличается/не отличается.

В психологии иногда невозможно избежать шкалы наименований, особенно при анализе рисунков. К примеру, рисуя дом, дети часто рисуют солнце в верхней части листа. Можно предположить, что расположение солнца слева, посередине, справа или отсутствие солнца вообще может говорить о некоторых психологических качествах ребенка. Перечисленные варианты расположения солнца являются значениями переменной шкалы наименований. Причем, мы можем обозначить варианты расположения номерами, буквами или оставить их в виде слов, но как бы мы их не называли, мы не можем сказать, что один ребенок «больше» другого, если нарисовал солнце не посередине, а слева. Но мы можем точно сказать, что ребенок, нарисовавший солнце справа однозначно не является тем, кто нарисовал солнце слева (или не входит в группу). Таким образом, шкала наименований отражает отношения типа: похож/не похож, тот/не тот, относится к группе/не относится к группе.

2. Порядковая (ранговая) шкала - отображение отношений порядка. Самой типичной переменной этой шкалы является место, занятое спортсменом на соревнованиях. Известно, что победители соревнований получают первое, второе и третье место и мы точно знаем, что спортсмен с первым местом имеет лучшие результаты, чем спортсмен со вторым местом. Кроме места, имеем возможность узнать и конкретные результаты спортсмена.

Единственно возможные отношения между объектами измерения в данной шкале – это больше/меньше, лучше/хуже. Проведя измерение в порядковой шкале нельзя узнать на сколько единиц отличаются объекты, тем более во сколько раз они отличаются.

В психологии возникают менее определенные ситуации. К примеру, когда человека просят проранжировать цвета по предпочтению, от самого приятного, до самого неприятного. В этом случае, мы точно можем сказать, что один цвет приятнее другого, но о единицах измерения мы не можем даже предположить, т.к. человек ранжировал цвета не на основе каких-либо единиц измерения, а основываясь на собственных чувствах. То же самое происходит в тесте Рокича, по результатам которого мы так же не знаем на сколько единиц одна ценность выше (больше) другой. Т.е., в отличие от соревнований, мы даже не имеем возможности узнать точные баллы различий.

3. Интервальная шкала - помимо отношений указанных для шкал наименования и порядка, отображает отношение расстояния (разности) между объектами. Коэфициент интеллекта, результаты теста FPI, шкала градусов цельсия – всё это интервальные шкалы. Разности между соседними точками в этой шкале равны. Большинство психологических тестов содержат нормы, которые и являются образцом интервальной шкалы. Ноль в них условный: для IQ и FPI ноль – это минимально возможный балл теста (очевидно, что даже проставленные наугад ответы в тесте интеллекта, позволят получить какой-либо балл отличный от нуля). Если бы мы не создавали условный ноль в шкале, а использовали реальный ноль как начало отсчета, то получили бы шкалу отношений, но мы знаем, что интеллект не может быть нулевым.

Не психологический пример шкалы интервалов — шкала градусов Цельсия. Ноль здесь условный — температура замерзания воды и существует единица измерения — градус Цельсия. Хотя мы знаем, что существует абсолютный температурный ноль - это минимальный предел температуры, которую может иметь физическое тело, который в шкале Цельсия равен -273,15 градуса. Таким образом, условный ноль и наличие равных интервалов между единицами измерения являются главными признаками шкалы интервалов.

Измерив явление в интервальной шкале, мы можем сказать, что один объект на определенное количество единиц больше или меньше другого.

4. Шкала отношений. С помощью таких шкал могут быть измерены масса, длина, сила, стоимость (цена), т.е. всё, что имеет гипотетический абсолютный ноль. В отличие от шкалы интервалов может отражать то, во сколько один показатель больше другого. Шкала отношений имеет нулевую точку, которая характеризует полное отсутствие измеряемого качества. Данная шкала допускает преобразование подобия (умножение на константу). Определение нулевой точки - сложная задача для психологических исследований, накладывающая ограничение на использование данной шкалы.