БМ и ББ числовые послед-ти. Св-ва БМ И ББ числовых послед-тей

Определение. Числовая последовательность { x_n} называется бесконечно малой числовой последовательностью, если lim _n→∞ x_n= 0 ⇔ для ∀ ε > 0 ∃ Nε ∈ℕ такой, что ∀ n > Nε следует |x_n |< ε.

Определение.Числовая последовательность{ x_n} называется бесконечно большой, если lim _n→∞ x_n= ∞ ⇔ ∀М > 0 ∃N_M ∈ℕ, ∀n >M_N следует | x_n | > М.

Свойства бесконечно малых ЧП:

1. Алгебраическая сумма (±) бесконечно малых числовых последовательностей есть бесконечно малая числовая последовательность.

2. Произведение ограниченной ЧП на бесконечно малую ЧП есть бесконечно малая ЧП(Следовательно, произведение двух бесконечно малых ЧП– бесконечно малая ЧП).

Свойства бесконечно больших ЧП:

1. Алгебраическая сумма (±) бесконечно больших ЧП есть бесконечно большая ЧП.

2. Произведение ограниченной ЧП на бесконечно большую ЧП есть бесконечно большая числовая последовательность.

3. Произведение двух бесконечно больших числовых последовательностей есть бесконечно большая числовая последовательность.

Предел функции

Определение (по Гейне). Число А называется пределом функции y= f(x) в процессе при x →x₀, если для любой числовой последовательности, сходящейся к x₀, соответствующая последовательность значений функции сходится к А.

Определение (по Коши). Число A называется пределом функции y= f(x) при x →x₀, если для любого, сколь угодно малого, числа ε > 0 существует число ε _δ > 0 (зависящее от ε) такое, что для всех x ≠ х₀, удовлетворяющих неравенству | x- x₀| < δ _ε, выполняется неравенство | f (x) - A| < ε.

Теорема (Необходимое и достаточное условие существование предела). Для того, чтобы функция y= f(x) при x →x₀ имела конечный предел А, необходимо чтобы в окрестности точки х₀ f(х) можно было представить в виде суммы этого предела и бесконечно малой функции.