Теорема Lim x →x0 const =const.
Теорема Lim x →x0 с* f1(x)= c * Lim x →x0 f1(x) = c*A.
Теорема Lim x →x0 (f1(x) +\- f2(x))= Lim x →x0 f1(x) +\- Lim x →x0 f2(x)= A+\- B.
Теорема Lim x →x0 f1(x) * f2(x) = Lim x →x0 f1(x) * Lim x →x0 f2(x) =A*B
Теорема. Lim x →x0 f1(x) \ f2(x) = Lim x →x0 f1(x) \ Lim x →x0 f2(x) = A\B, если В не равно 0.
Неопределенные выражения
Определение. В результате предельного перехода в равенствах могут быть получены выражения вида (0\0), (∞/∞), (1 ∞), (∞-∞), (0*∞).Такие выражения называются неопределёнными.
Первый замеч-й предел
Теорема. Lim x →0 sinx \ x=1.
Следствия:
1. Lim x →0 х \ sinx = 1.
2. Lim x →0 sinkx \ x = k.
3. Lim x →0 tgmx \ x = m.
4. Lim x →0 arcsin mx \ x = m.
Замечание. Первый замечательный предел применяется для раскрытия неопределенностей вида (0\0), содержащих тригонометрические функции.
Lim x →0 cosx \ x = ∞.
Число е. второй замеч-ный предел
Теорема Все логарифмические функции пропорциональны друг другу.
Теорема. Lim h →0 ln(1+h) \ h =1.
Следствия:
1. Lim h →0 (1+h) 1\h = e
2. Lim y →0 (1+ 1\y)y= e
33.
1. Lim x →0 (1+kx)1\x = ek
|
|
2. Lim x →∞ (1+k\x) x =ek
3. Lim x →0 (loga(1+x) \ x) = logae
4. Lim x →0 (ax -1 \ x)= ln a
5. Lim x →0 (ex -1 \x) =1.
6. Lim x →0 ((1+x) α -1 \ x) = α.
34. Пределы от функции
При вычислении пределов вида полезно помнить:
1. Если где А и В – конечные чис-
ла, то
2. Если то
3. Если то
4. Если
Неопределённость вида (1¥) раскрывается с помощью числа е.
35. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций
1. Определение Если предел отношения двух БМФ
равен постоянному числу, то БМФ имеют одинаковый порядок малости.
Если , то (x) и (x)
Назыв-тся эквивалентными бесконечно малыми функциями при
Записывают или
Свойства эквивалентных бесконечно малых величин:
Аналогично сравниваются бесконечно большие функции.
Сравнение ББФ
Таблица эквивалентных бесконечно малых величин(относится к 35 вопросу)