Производная функции

D x

D f

A

B

j

C

y

x

x

x +D x

Рис. 1

Определение. Если отно­ше­ние имеет предел при этот предел называ­ют производной функции при заданном значении и за­пи­сывают

. (1)

Замечание. Если при не­ко­то­ром значении , су­щест­ву­ет производная функции при этом значении, то в этой точке функция непрерывна.

Заметим, что отношение из рис. 1 численно равно .

Определение. Производная функции в точке численно равна тан­генсу угла, который составляет касательная к графику этой функции по­строенной в точке с положительным направлением с осью .

D f

D x

x

x +D x

Рис. 2

Из последнего определения ста­но­вится ясно, почему в случае убы­ва­ю­щей функции (рис. 2) про­из­вод­ная от­ри­цательна. Это объясняется тем, что , если будет отрицатель­ным.

На этом свойстве производной осно­ва­но исследование поведения функции на возрастание (убывание) на заданном отрезке.