Рассмотрим часто встречающийся случай, когда плоская кривая задана явно уравнением В этом случае можно в качестве параметра взять переменную . Подставляя уравнения в формулу (8.1) длины дуги параметрически заданной кривой, и заменяя на , получаем:
Пример. Пусть по внутренней частиобруча большого радиуса движется колесо меньшего радиуса . Точка, отмеченная на ободе колеса меньшего радиуса, будет описывать линию, называемую гипоциклоидой. Если , то такая гипоциклоида называется астроидой. Уравнение астроиды .
Найдем длину астроиды. Поскольку эта кривая симметрична относительно осей и , то будем искать длину части кривой, находящейся в первой четверти. Она задается уравнением , . Сделаем необходимые вычисления
; .
Подставив это выражение в формулу для вычисления длины дуги, найдем длину части кривой, лежащей в первой четверти
.
Длина всей астроиды .