Рассмотрим систему линейных уравнений с квадратной матрицей (Аnn):
(j = 1, 2, …, n). Умножим обе части этого равенства на . Получим справа: = = xk det A, и слева: .
Отсюда получим: .
Здесь через ∆ обозначен det A, называемый главным определителем (определитель матрицы системы). Через ∆ k обозначены определитель матрицы Аk, который получается из матрицы системы А заменой k го столбца на столбец свободных членов.
Доказана теорема Крамера:
Т°. Если ∆ ¹ 0, то система Ax = b имеет единственное решение, которое задается формулами
Крамера: xk = , k = 1, 2, …, n.