Некоторые приемы вычисления

определителей n ^ГО порядка

1. Метод приведения к треугольному виду.

а) Вычислить определитель: .

Вычитая первую строку из всех остальных, получаем определитель, который имеет треугольный вид и, следовательно, равен произведению диагональных элементов:

. В итоге D_n = (–1) ^{n –1}.

б) Вычислить определитель: .

Вычитаем первую строку из всех остальных, а затем, из столбцов определителя выносим: из первого а ₁ – х; из второго а ₂ – х; …..; из n ^го а_n – х. Получим:

D = (a ₁ – x) (a ₂ – x)… (a_n – x) .

Запишем первый элемент первого столбца в виде: = 1 + , и все столбцы полученного определителя прибавим к первому столбцу. Получим определитель треугольного вида, который равен произведению диагональных элементов. Следовательно:

D = (a ₁– x) (a ₂ – x)…(a_n – x) x + + + … + .

2. Метод выделения линейных множителей.

а) Вычислить определитель .

1. Прибавляя к первому столбцу определителя остальные три, обнаружим, что в первом столбце есть общий множитель, который равен х + у + z. Следовательно, определитель делится на х + у + z.

2. Аналогично, прибавляя к первому столбцу второй и вычитая из него третий и четвертый столбцы, получаем, что определитель делится на х – у – z.

3. Если первый столбец сложить с третьим и вычесть второй и четвертый, то получим, что определитель делится на х – у + z.

4. Если к первому столбцу прибавить четвертый и вычесть второй и третий столбцы, то обнаружим, что определитель имеет множитель х – у + z. Итак:

= .

Ясно, что определитель является многочленом 4^й степени по x, по y и по z. Справа тоже многочлен той же степени. Поэтому V = const. В определитель x ⁴ входит в слагаемом:

a ₁₂ a ₂₁ a ₃₄ a ₄₃ = (–1)²× х × х × х × х = х ⁴.

В правой части старший член по х: Vx ⁴, т.е. V = 1. Получаем результат:

= (x + y + z)(x – y – z)(x – y + z)(x + y – z) = x ⁴ + y ⁴ + z ⁴ – 2 x ² y ² – 2 x ² z ² – 2 у ² z ².

б) Вычислить определитель n -го порядка: .

Этот определитель называется определителем Вандермонда. Рассматривая его как многочлен (n –1)^й степени относительно x_n увидим, что он обращается в 0 при x_n = x _1, x_n = x _2, … x_n = x_{n – 1}. Тогда D_n = a_{n – 1}(x_n – x ₁)(x_n – x ₂) … (x_n – x_n–1), причем a_{n –1} = = D_{n –1}. Повторяя эту процедуру, получим: D_n = (x ₂ – x ₁)(x ₃ – x ₂)(x ₃ – x ₁)(x ₄ – x ₃)(x ₄ – x ₂)(x ₄ – – x ₁)… = .

3. Метод представления определителя в виде суммы определителей.

Вычислить определитель: .

Заметив, что элементы первого столбца представлены как суммы двух чисел, разложим определитель в сумму двух определителей:

.

Теперь каждый из полученных определителей разложим в сумму двух определителей, воспользовавшись тем, что элементы вторых столбцов у них также представлены в виде сумм, и т.д. Проделав это, получим (n > 2), что строки полученных определителей будут такими: a_i, a_i, …_, a_i или b _1, b _2, …_,b_n . Строки 1^го типа пропорциональны, 2^го типа равны и, следовательно, все слагаемые равны нулю. Следовательно: D_n = 0 (" n > 2).

Для определителей такого же типа, но первого и второго порядков получим:

D ₁ = | a ₁ + b ₁ | = a ₁ + b ₁; D ₂ = =

= a ₁ b ₂– a ₂ b ₂ + b ₁ a ₂ – a ₁ b ₁ = (a ₁ – a ₂) b ₂ + (a ₂ + a ₁) b ₁ = (a ₁ – a ₂)(b ₂ – b ₁).

Метод рекуррентных (возвратных) соотношений.

Вычислить определитель n –го порядка: .

Разлагая определитель по элементам первой строки, получим рекурентное соотношение: D_n = .

Разложив определитель в правой части соотношения по первому столбцу, запишем новое рекурентное соотношение: D_n = 5 D_{n –1} – 6 D_{n –2}.

Представляя это соотношение в виде: D_n – 2 D_{n –1} = 3(D_{n –1} – 2 D_{n –2}) и вводя обозначение:

Т_n = D_n – 2 D_{n –1} получим: Т_n = 3 Т_{n –1} – 3² Т_{n –2} = … =3 ^n-2 T ₂=3ⁿ.

Аналогично, записав рекурентное соотношение в виде: D_n – 3 D_{n –1} = 2(D_{n –1} – 3 D_{n –2}) и обозначая: V_n = D_n – 3 D_{n –1} получим V_n = 2 V_{n= 1} = 2² V_{n –2}=…= 2 ⁿ.

т.е. D_n = 3 ^{n + 1} – 2 ^{n + 1}.

В общем случае, для рекуррентных соотношений типа: D_n = pD_{n – 1} + qD_{n – 2.}можно проделать следующее: пусть a и b корни уравнения x ² – px – q = 0, т.е. p = a + b,

q = –ab. Тогда D_n = a D_{n – 1} + b D_{n –1} – ab D _{n – 2}^; D_n – a D_{n -–1} = b(D_{n – 1} – a D_{n – 2}), т.е. S_{n =} b S_{n – 1} или D_n – b D_{n -–1} = a(D_{n – 1} – b D_{n – 2}), т.е. V_{n =} b V_{n – 1}.

Аналогично можно поступить и в более сложных рекуррентных соотношениях.

5. Метод изменения элементов определителя.

19°. Если ко всем элементам определителя D добавить одно и то же число x, то определитель увеличится на произведение числа x на сумму алгебраических дополнений всех элементов определителя D.

◀ Пусть D = | a_ij |; D¢ = | a_ij + x |. Разложим D¢ в сумму двух определителей относительно первой строки, каждый из них на два относительно второй строки и т.д. Слагаемые, содержащие более одной строки элементов x, равны нулю.

Слагаемые, содержащие одну строку элементов x, разложим по этой строке. Получим D¢ = D + x. ▶

а). . Вычтем из всех элементов определителя число x

. Тогда D_n = (a ₁ – x)(a ₂ – x)…(a _n – x) + x = (a ₁ – x)(a ₂ – x)...

…(a_n – x) + x = (a ₁ – x) (a ₂ – x) … (a_n – x) + x = (a ₁ – x)(a ₂– x)…(a_n – x) +

+ x =

= x (a ₁ – x) (a ₂ – x) … (a_n – x) .