Сопряженные и самосопряженные операторы

В унитарном пространстве

§1. Сопряженный оператор

Def: Оператор А ^*Î L (V, V) называется оператором, сопряженным к оператору " А Î L (V, V), если " х, у Î V; (Ах, у) = (х, А ^* у).

Т°. Оператор, сопряженный к линейному – линеен.

◀ (х, А ^*(a₁ у ₁ + a₂ у ₂)) = (Ах, a₁ у ₁ + a₂ у ₂) = (Ах, у ₁) + (Ах, у ₂) =

= (х, А^*у ₁) + (х, А^*у ₂) = (х, a₁ А^*у ₁) + (х, a₂ А^*у ₂) = (х, a₁ А^*у ₁+ a₂ А^*у ₂) ▶

Т°. Любой линейный оператор имеет сопряженный и при этом только один.

◀ Так как (Ax, y) – скалярное произведение в унитарном пространстве, то оно является полуторалинейной формой, которую мы обозначим - B (x, y). Из теоремы о специальном представлении полуторалинейной формы следует утверждение теоремы (Ax, y) = B (x, y) = (x, A ^* y) ▶