2015-05-05
2003
Def: Оператор " А Î L (V, V) действующий в унитарном пространстве называется эрмитовым (самосопряженным) оператором, если А *= А.
Примечание: в евклидовом пространстве такой оператор называется самосопряженным.
Пусть А – произвольный линейный опреатор из L (V, V). Введем операторы АR и АI по правилу АR = 
; АI = 
, тогда А = АR + iАI и кроме того:
а) (АRx, y) = ( x, y) = (x, ()* y) = (x, y) = (x, ARy);
б) (АIx, y) = (() x, y) = (x, ()* y) = (x, 
y) = (x, AIy);
т.е. АR и АI эрмитовы.
Отсюда:
Т°. (о специальном представлении линейного оператора) " A Î L (V, V)
существуют эрмитовы операторы АR и АI такие, что А = АR + iАI (при
этом операторы АR и АI называются вещественной и мнимой частью
оператора А)
Def: Операторы A, B Î L (V, V) называются коммутирующими операторами если АВ = ВА.
Оператор 
называется коммутатором операторов А и В, и при этом 
– это необходимое и достаточное условие коммутируемости операторов А и В.
Т°. Произведение эрмитовых операторов А и В будет эрмитовым оператором тогда
и только тогда когда операторы А и В коммутируют (т. е. АВ = ВА).
|
|
|
◀ Так как операторы А и В эрмитовы, то:
(АВ)* = В * А * = ВА (ф)
тогда:
а) Если АВ = ВА, то из (ф) (АВ)*= АВ, т. е. оператор АВ – эрмитов.
б) Если АВ эрмитов, то (АВ)*= АВ и из (ф) АВ = ВА т.е. операторы коммутируют ▶
Т°. Если А – эрмитов оператор, то " x Î V; (Ax, x)Î R (здесь R - множество вещественных чисел).
◀ 
из свойств скалярного произведения (Ах, х) = (х, Ах) из эрмитовости оператора. Тогда 
, т.е. (Ax, x)Î R ▶
Т°. Собственные числа эрмитового оператора вещественны.
◀ Пусть $ x Î V, х ¹ 0 и $lÎ С такие, что Ах = λ х. Тогда:
(х, х) ³ 0, l – вещественно ▶
Т°. Собственные векторы эрмитового оператора, отвечающие различным
собственным значениям – ортогональны.
◀ Пусть Ах 1 = λ1 х 1, Ах 2 = λ2 х 2 и 
.
Тогда (Ах 1, х 2) = (λ1 х 1, х 2) = λ1(х 1, х 2) равны как эрмитовы (х 1, Ах 2) = (х 1, λ2 х 2) = 
(х 1, х 2) = = λ2(х 1, х 2) и получено (λ1 – λ2)(х 1, х 2) = 0 Þ (х 1, х 2) = 0 ▶
