Характеры

Пусть D (G) – n -мерное представление группы G, и D_ij (g) – матрица оператора, отвечающего g Î G.

Характером элемента g Î G в представлении D (G) называется число c(g) = D_ij (g) = = D ₁₁(g) + D ₂₂(g) + …+ D_nn (g), т.е. характером элемента g Î G является след оператора D (G). Отсюда ясно, что характер любого элемента не зависит от базиса представления и поэтому является инвариантом.

Итак: любому g Î G представления D (G) отвечает число – характер этого элемента.

Вопрос: каким элементам группы отвечают одинаковые характеры?

Def: Элемент b Î G называется сопряженным к элементу a Î G, если $ u Î G такой, что uau ^–1 = b.

Для сопряженных элементов выполнено:

1°. а сопряжен самому себе. ◀ еае ^–1 = а ▶

2°. Если b сопряжен к а, и с сопряжен к b, то с сопряжен к а.

◀ uau ^–1 = b Þ u ^–1 uau ^–1 u = u ^–1 bu Þ а = u ^–1 bu Þ а = vbv ^–1 ▶

3°. Если b сопряжен к а, и с сопряжен к b, то с сопряжен к а.

◀ uau ^–1 = b, vbv ^–1 = c Þ c = v (uau ^–1) v ^–1 = (vu) a (u ^–1 v ^–1) = = (vu) a (vu)^–1 = waw ^–1 ▶

Все элементы группы разобьем на классы взаимно-сопряженных элементов. Два таких класса либо совпадают, либо не имеют общих элементов.

Тº. Характеры элементов принадлежащих к одному и тому же классу сопряженных элементов равны друг другу. Доказать самостоятельно.

Тº. Характеры элементов для эквивалентных представлений совпадают. Доказать самостоятельно.

Пусть G разбита на классы сопряженности k ₁, k ₂, …, k_v. Тогда каждому k_i можно поставить в соответствие число c _i – характер элементов k_i в представлении D (G).

Тогда представление D (G) может быть описано с помощью набора характеров c₁, c₂, …, c _v, который можно рассматривать, как координаты вектора в евклидовом пространстве Е^v. При этом различным представлениям соответствуют, вообще говоря, различные векторы.

Указанный геометрический подход позволяет во многих случаях решать важные вопросы теории представления групп.