Если F(x) – одна из первообразных функции f(x) на промежутке J, то первообразная на этом промежутке имеет вид F(x)+C, где CÎR.
Определение. Множество всех первообразных функции f(x) на промежутке J называется определенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается ò f(x)dx.
ò f(x)dx = F(x)+C, где F(x) – некоторая первообразная на промежутке J.
f – подынтегральная функция, f(x) – подынтегральное выражение, x – переменная интегрирования, C – постоянная интегрирования.
Свойства неопределенного интеграла.
(ò f(x)dx) ¢ = ò f(x)dx,
ò f(x)dx = F(x)+C, где F ¢(x) = f(x)
(ò f(x)dx) ¢= (F(x)+C) ¢= f(x)
ò f ¢(x)dx = f(x)+C – из определения.
ò k f (x)dx = k ò f¢(x)dx
если k – постоянная и F ¢(x)=f(x),
ò k f (x)dx = k F(x)dx = k(F(x)dx+C1)= k ò f¢(x)dx
ò (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = ò f(x)dx + ò g(x)dx +...+ ò h(x)dx
ò (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = ò [F ¢(x)+G ¢(x)+...+H ¢(x)]dx =
= ò [F(x)+G(x)+...+H(x)] ¢dx = F(x)+G(x)+...+H(x)+C=
= ò f(x)dx + ò g(x)dx +...+ ò h(x)dx, где C=C1+C2+C3+...+Cn.
Интегрирование
Табличный способ.
Способ подстановки.
Если подынтегральная функция не является табличным интегралом, то возможно (не всегда) применить этот способ. Для этого надо:
разбить подынтегральную функцию на два множителя;
обозначить один из множителей новой переменной;
выразить второй множитель через новую переменную;
составить интеграл, найти его значение и выполнить обратную подстановку.
Примечание: за новую переменную лучше обозначить ту функцию, которая связана с оставшимся выражением.
Примеры:
1. ò xÖ(3x2–1)dx;
Пусть 3x2–1=t (t³0), возьмем производную от обеих частей:
6xdx = dt
xdx=dt/6
ó dt 1 1 ó 1 1 t 2 2 1 ———Ø
ô— t 2 = — ô t 2dt = – ——– + C = —Ö 3x2–1 +C
õ 6 6 õ 6 3 9
2. t
ò sin x cos 3x dx = ò – t3dt = – – + C
Пусть cos x = t
-sin x dx = dt
Метод преобразования подынтегральной функции в сумму или разность:
Примеры:
ò sin 3x cos x dx = 1/2 ò (sin 4x + sin 2x) dx = 1/8 cos 4x – ¼ cos 2x + C
ó x4+3x2+1 ó 1 1
ô———— dx = ô(x2+2 – ——–) dx = — x2 + 2x – arctg x + C
õ x2+1 õ x2+1 3
Примечание: при решении этого примера хорошо делать многочлены ”углом”.
По частям
Если в заданном виде взять интеграл невозможно, а в то же время, очень легко находится первообразная одного множителя и производная другого, то можно использовать формулу.
(u(x)v(x))’=u’(x)v(x)+u(x)v(x)
u’(x)v(x)=(u(x)v(x)+u(x)v’(x)
Проинтегрируем обе части
ò u’(x)v(x)dx=ò (u(x)v(x))’dx – ò u(x)v’(x)dx
ò u’(x)v(x)dx=u(x)v(x)dx – ò u(x)v’(x)dx
Примеры:
ò x cos (x) dx = ò x dsin x = x sin x – ò sin x dx = x sin x + cos x + C
x = u(x)
cos x = v’(x)