Коды с проверкой на четность

Простейшим систематическим разделимым линейным блочным кодом является код с d_min=2. Кодирование осуществляется добавлением к комбинации k-значного простого кода одного проверочного символа в конце или в начале кодовой комбинации. Значение проверочною символа определяется тем, какой принцип проверки числа единиц в принятой кодовой комбинации положен в основу синтеза кода. Если используется принцип проверки на четность, то значение проверочного символа определяется уравнением:

В этом случае после добавления проверочного символа образуются кодовые комбинации, содержащие только четное число единиц. Например, пусть исходная кодовая комбинация кола МТК № 2 10011 (буква В). Сумма её элементов, подсчитанная согласно выражению (3.2), равна 1. Следовательно, передаваемая комбинация имеет вид 100111 и содержит чётное число единиц.

Если используется принцип проверки на нечетность, то значение проверочного символа определяется уравнением

Уравнение (3.3) представляет собой инверсию результата суммирования. В рассмотренном примере в этом случае , а передаваемая комбинация имеет вид 100110, т.е. комбинации будут содержать нечётное число единиц.

Простейшие корректирующие коды с проверкой на четность (нечетность) формируются на базе простых равномерных кодов.

Увеличение значности на один элемент увеличивает общее число комбинаций N_общ по сравнению с первичным кодом вдвое, что позволяет разделить кодовые комбинации на разрешённые и

запрещенные .

Поскольку d_min=2, то такой код позволяет гарантированно обнаруживать все кодовые комбинации, содержащие один искаженный символ. Кроме того, наличие чётного (нечётного) числа единиц в любой неискажённой кодовой комбинации даёт возможность обнаруживать вес комбинации, в которых искажено нечетное число символов. Действительно, если при передаче комбинации произойдет ошибка в нечётном числе разрядов, то это приведёт к запрещенной комбинации.

Полагая, что искажения двух или более символов в комбинации являются событиями независимыми, найдем вероятность необнаруживаемой ошибки для данного кола. Поскольку обнаруживаются все ошибки нечетной кратности, то вероятность обнаруживаемой ошибки будет равна сумме вероятностей появления нечетного числа ошибок. Учитывая, что вероятность ошибочного приёма символов при передаче по двоичному симметричному каналу подчиняется биноминальному распределению, и поскольку не обнаруживаются ошибки четной кратности, то вероятность необнаруживаемой ошибки будет равна сумме вероятностей появления чётного числа ошибок:

Процедура декодирования такого кода сводится к подсчёту числа единиц в принимаемой комбинации и принятию решения в зависимости от полученной суммы.