Способы описания групповых кодов

Групповым кодом называется такой корректирующий код, который является замкнутым в отношении сложения комбинаций, т.е. сумма любых кодовых комбинаций также является кодовой комбинацией. Такой код включает и нулевую кодовую комбинацию.

Минимальное кодовое расстояние группового кода равно минимальному весу его ненулевых кодовых комбинаций.

Если в кодовой комбинации группового кода известны места информационных и избыточных элементов, то такой групповой код является систематическим.

Первоначально для упрощения задания и описания групповых кодов отождествим их с векторами.

Известно, что векторное пространство однозначно задается базисом. Применяя понятие базиса векторного пространства, можно утверждать, что для задания (n,k) кода достаточно использовать k линейно-независимых кодовых комбинаций.

Если известно k линейно-независимых кодовых комбинаций группового кода, то, используя определение группового кода, можно получить все остальные комбинации путем суммирования исходных комбинаций в различных сочетаниях. Набор исходных кодовых комбинаций может быть различным для одного и того же (n, k) – кода.

Широко используется матричное описание групповых кодов. Обычно принято записывать комбинации, с помощью которых задают (n, k)-код в виде матрицы, имеющей k строк и n столбцов, где строками являются линейно-независимые комбинации. Такую матрицу называют порождающей матрицей группового кода и обозначают G(n, k). Возможно также формирование кодовых комбинаций ЛБК с использованием проверочных уравнений.

Преимущества матричного описания несомненны. Действительно, если (n, k)-код содержит 2^k комбинаций, то для его задания требуется всего лишь k кодовых комбинаций. Кодовые комбинации линейного группового кода являются результатом умножения исходной кодовой комбинации на порождающую матрицу G:

Каноническая форма порождающей матрицы группового кода имеет вид:

Где l_k – единичная матрица размерности (k k), т.е. такая квадратная матрица, у которой на главной диагонали находятся единицы, а все остальные элементы – нули. l_k располагается на местах информационных комбинаций и служит для формирования информационных элементов кодовых комбинаций.

R_k×(n-k) – матрица из k строк и (n-k) столбцов, расположенная на местах избыточных элементов кодовых комбинаций, составленная из проверочных элементов базисных кодовых комбинаций и предназначенная для формирования избыточных элементов этих комбинаций.

Порождающая матрица может быть приведена к канонической форме посредством элементарных действий над строками матрицы:

-перестановка любых двух строк,

-умножение любой строки на скаляр,

-прибавление произведения одной из строк матрицы на скаляр к другой строке матрицы.