Метод суперпозиции или гл. координат

Используется тогда, когда решение может быть описано линейной комбинацией гармоник, отвечающих нескольким низшим частотам системы. Это возможно когда высшие гармоники в разложении возмущающего воздействия P(t) мало влияют на поведение в рассматриваемой системе. Из вычисленных ранее собственных частот выбираются те из них, которые близко лежат к частоте возмущающей силе. В этом методе не используется матрица демпфирования элементов. Демпфирование рассматривается в целом для системы. Матрица коэфф. демпфирования может быть определена из выражения:

- диагональная матрица, образованная из коэффицентов вязкости внешних демпферов

- коэф. вязкости материала конструкции

Приближенно внутреннее и внешнее сопротивление материала в МКЭ учитывают используя выражение:

Значения и подбирают из условия, чтобы декременты колебаний, отвечающие затухающим свободным колебаниям совершали бы по двум характерным (низшим) формам собственных колебаний были частотно независимы. Их значения находят используя две характерные формы колебаний с частотами и и известные коэффициенты демпфирования системы:

Метод суперпозиций состоит в том, что искомый вектор q(t) решения уравнения движения представляются в виде:

- неизвестное обобщенное перемещение координаты

- известные формы собственных колебаний системы

Из диф. ур-ния Лагранжа 2-го рода при отсутствии сил сопротивления имеем:

[E] – квадратичная единичная матрица

i=1,2, …, n – число ст. свободы

Известно:

В силу симметрии матрицы жесткости.

Тогда:

;

Подставив последние выражение в предыдущее получим основное уравнение движения:

или в развернутом виде с учетом условия ортогональности собственных форм:

В результате система уравниений движения может быть сведена к системе из n независимых уравнений вида:

Из которых определяют перемещения

k – номер формы колебаний.

Точность решения зависит от дин. модели и правильности выбора числа собственных частот используемых в системе, а также от характера действия дин. нагрузок, поэтому его удобнее использовать тогда, когда необходимо исследовать как собственные частоты, так и отклик системы на дин. воздействие.