Волчки

Волчки кардинально отличаются от гироскопов тем, что в общем случае они не имеют ни одной неподвижной точки. Произвольное движение волчков имеет весьма сложный характер: будучи раскручены вокруг оси симметрии и поставлены на плоскость, они прецессируют, "бегают" по плоскости, выписывая замысловатые фигуры, а иногда даже переворачиваются с одного конца на другой. Не вдаваясь в детали такого необычного поведения волчков, отметим лишь, что немаловажную роль здесь играет сила трения, возникающая в точке соприкосновения волчка и плоскости.

Кратко остановимся на вопросе об устойчивости вращения симметричного волчка произвольной формы. Опыт показывает, что если симметричный волчок привести во вращение вокруг оси симметрии и установить на плоскость в вертикальном положении, то это вращение в зависимости от формы волчка и угловой скорости вращения будет либо устойчивым, либо неустойчивым.

Пусть имеется симметричный волчок, изображенный на рис. 107. Введем следующие обозначения: О - центр масс волчка, h - расстояние от центра масс до точки опоры; K - центр кривизны волчка в точке опоры, r - радиус кривизны; - момент инерции относительно оси симметрии, - момент инерции относительно главной центральной оси, перпендикулярной оси симметрии.

Рис. 107

Анализ устойчивости вращения волчка приводит к диаграмме, изображенной на рис. 108. Здесь по оси абсцисс отложено отношение , а по оси ординат – отношение .

Рис. 108

Проведем гиперболу и прямую . Эти линии делят область положительных значений , на 4 части.

Область I соответствует неустойчивому вращению волчка при всех угловых скоростях, область II - устойчивому вращению при достаточно больших угловых скоростях . Область III соответствует устойчивому вращению при малых угловых скоростях , область IV - устойчивому вращению при произвольных . Критическая угловая скорость зависит от моментов инерции , , расстояний , и веса тела [К. Магнус, 1974]:

(22)

Рассмотрим, например, китайский волчок, раскрученный до и поставленный на плоскость вертикально, как показано на рис. 109, а. Пусть . Поскольку то этой ситуации соответствует точка 1 в области III на рис. 59, то есть область устойчивого вращения лишь при малых . Таким образом, в нашем случае вращение будет неустойчивым, и волчок перевернется на ножку (точка 2 в области II на рис. 108).

Рис. 109

Следует обратить внимание, что в процессе переворачивания волчка результирующий момент импульса сохраняет свое первоначальное направление, то есть вектор L, все время направлен вертикально вверх. Это означает, что в ситуации, изображенной на рис. 109, б, когда ось волчка горизонтальна, вращение вокруг оси симметрии волчка отсутствует! Далее, при опрокидывании на ножку, вращение вокруг оси симметрии будет противоположно исходному (если смотреть все время со стороны ножки, рис. 109, в).

В случае яйцеобразного волчка поверхность тела в окрестности точки опоры не является сферой, но существуют два взаимно перпендикулярных направления, для которых радиус кривизны в точке опоры принимает экстремальные (минимальное и максимальное) значения. Опыты показывают, что в случае, изображенном на рис. 109, а, вращение будет неустойчивым, и волчок принимает вертикальное положение, раскручиваясь вокруг оси симметрии и продолжая устойчивое вращение на более остром конце. Это вращение будет продолжаться до тех пор, пока силы трения не погасят в достаточной мере кинетическую энергию волчка, угловая скорость уменьшится (станет меньше ), и волчок упадет.