Прецессия гироскопа под действием внешних сил. Элементарная теория

Рассмотрим теперь ситуацию, когда к оси гироскопа приложена сила, линия действия которой не проходит через точку закрепления. Опыты показывают, что в этом случае гироскоп ведет себя весьма необычным образом.

Если к оси шарнирно закрепленного в точке О гироскопа (рис. 92) прикрепить пружину и тянуть за нее вверх с силой , то ось гироскопа будет перемещаться не в направлении силы, а перпендикулярно к ней, вбок. Это движение называется прецессией гироскопа под действием внешней силы.

Рис.92

Опытным путем можно установить, что угловая скорость прецессии зависит не только от величины силы (рис.92), но и от того, к какой точке оси гироскопа эта сила приложена: с увеличением и ее плеча относительно точки закрепления О скорость прецессии увеличивается. При этом оказывается, что чем сильнее раскручен гироскоп, тем меньше угловая скорость прецессии при данных и .

В качестве силы , вызывающей прецессию, может выступать сила тяжести, если точка закрепления гироскопа не совпадает с центром масс. Так, если стержень с быстро вращающимся диском подвесить на нитке (рис. 93), то он не опускается вниз, как это можно было бы предположить, а совершает прецессионное движение вокруг нитки. Наблюдение прецессии гироскопа под действием силы тяжести в некотором смысле даже удобнее - линия действия силы "автоматически" смещается вместе с осью гироскопа, сохраняя свою ориентацию в пространстве.

Рис.93

Можно привести и другие примеры прецессии - например, движение оси хорошо известной детской игрушки - юлы с заостренным концом (рис.94). Юла, раскрученная вокруг своей оси и поставленная на горизонтальную плоскость слегка наклонно, начинает прецессировать вокруг вертикальной оси под действием силы тяжести (рис.94).

Рис.94

Точное решение задачи о движении гироскопа в поле внешних сил довольно выражение для угловой скорости прецессии можно легко получить в рамках так называемой элементарной теории гироскопа. В этой теории делается допущение, что мгновенная угловая скорость вращения гироскопа и его момент импульса направлены вдоль оси симметрии гироскопа. Другими словами, предполагается, что угловая скорость вращения гироскопа вокруг своей оси значительно больше угловой скорости прецессии:

(5)

так что вкладом в , обусловленным прецессионным движением гироскопа, можно пренебречь. В этом приближении момент импульса гироскопа, очевидно, равен

(6)

где - момент инерции относительно оси симметрии.

Итак, рассмотрим тяжелый симметричный гироскоп, у которого неподвижная точка S (точка опоры о подставку) не совпадает с центром масс О (рис. 95).

Рис.95

Момент силы тяжести относительно точки S

(7)

где - угол между вертикалью и осью симметрии гироскопа. Вектор M направлен по нормали к плоскости, в которой лежат ось симметрии гироскопа и вертикаль, проведенная через точку S (рис. 95). Сила реакции опоры проходит через S, и ее момент относительно этой точки равен нулю.

Изменение момента импульса L определяется выражением

(8)

При этом и L, и ось волчка прецессируют вокруг вертикального направления с угловой скоростью . Еще раз подчеркнем: делается допущение, что выполнено условие (5) и что L постоянно направлен вдоль оси симметрии гироскопа. Из рис.95 следует, что

(9)

В векторном виде

(10)

Сравнивая (8) и (10), получаем следующую связь между моментом силы M, моментом импульса L и угловой скоростью прецессии :

(11)

Это соотношение позволяет определить направление прецессии при заданном направлении вращения волчка вокруг своей оси.

Обратим внимание, что M определяет угловую скорость прецессии, а не угловое ускорение, поэтому мгновенное "выключение" M приводит к мгновенному же исчезновению прецессии, то есть прецессионное движение является безынерционным.

Сила, вызывающая прецессионное движение, может иметь любую природу. Для поддержания этого движения важно, чтобы вектор момента силы M поворачивался вместе с осью гироскопа. Как уже было отмечено, в случае силы тяжести это достигается автоматически. При этом из (11) (см. также рис. 95) можно получить:

(12)

Если учесть, что в нашем приближении справедливо соотношение (6), то для угловой скорости прецессии получим

(13)

Следует отметить, что не зависит от угла наклона оси гироскопа и обратно пропорциональна , что хорошо согласуется с опытными данными.