Группы, кольца, поля

def

Группой наз. множество G, для которого выполнены следующие аксиомы:

1) ассоциативность по сложению или умножению:

2) существование нейтрального элемента:

3) существование обратного элемента:

Группа наз. коммутативной, если

def

Кольцом наз. множество К на котором заданы две бинарные алгебраические операции сложения и умножения, и выполнены аксиомы:

0)

1) ассоциативность по сложению:

2) существование нейтрального элемента:

3) существование противоположного элемента:

4) коммутативность:

5) дистрибутивность:

Эти аксиомы являются обязательными. Если выполняются аксиомы:

6) ассоциативность по умножению, то кольцо наз. ассоциативным.

7) существование нейтрального элемента по умножению, то кольцо наз. кольцом с единицей.

8) коммутативность по умножению, то кольцо наз. коммутативным.

9) ,

то говорят, что в этом кольце все не нулевые элементы обратимы.

def

Поле - это ассоциативное, коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый не нулевой элемент обратим.

Другими словами, поле - это множество, на котором заданы две алгебраические операции сложения и умножения, и выполняются аксиомы 0 - 9.