Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано

Пусть имеется f (x), имеющая производные до n -го порядка. Поставлена задача найти многочлен P _n(x):

P_n (x ₀) = f (x ₀), P ’ _n (x ₀) = f ’(x ₀), P ’’ _n (x ₀) = f ’’(x ₀), …, P ^{( n )} _n (x ₀) = f ^{( n )}(x ₀). (1)

Этот многочлен был найден в виде:

P_n (x) = f (x ₀) + (x – x ₀) + … + (x – x ₀) ⁿ = (x – x ₀) ^k. (3)

Теорема 7.14. Пусть функция f (x) n раз дифференцируема в точке x ₀, тогда для функции f (x) имеет место равенство:

f (x) = P_n (x) + o ((x – x ₀) ⁿ), где P_n (x) – многочлен Тейлора для функции f (x).