Билет 6. 1. Параллелограмм. Элементы параллелограмма

1. Параллелограмм. Элементы параллелограмма. Свойства и признаки параллелограмма (доказательство одной теоремы по выбору учащихся).

Ответ:

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Четырёхугольник ABCD, у которого сторона AB║DC, а сторона BC║AD. Следовательно ABCD –параллелограмм.

Свойства:

1) В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны (AB=DC, BC=AD, ÐA=ÐC, ÐB=ÐD).

2) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам (BO=OD, AO=OC). Докажем второе свойство.

Дано: ABCD – параллелограмм, BD и AC – диагонали, О – точка их пересечения. Доказать: BO=OD и AO=OC.

Док-во: ∆AOB=∆COD по стороне и двум прилежащим к ней углам (AB=DC как противоположные стороны параллелограмма, ÐABO=ÐCDO, ÐBAO=ÐDCO как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и DC и секущих BD и AC). Поэтому BO=OD, AO=OC, ч.т.д.

Признаки параллелограмма:

1) Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

2) Если в четырёхугольнике противоположные стороны равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

3) Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то он параллелограмм.