Измерения многих величин, встречающихся в природе, не может быть точным. Измерение дает число, выражающее величину с той или иной степенью точности (измерение длины с точностью до 0,01 см, вычисление значения функции в точке с точностью до и т.д.), то есть приближенно, с некоторой погрешностью. Погрешность может быть задана наперед, или, наоборот, ее требуется найти.
Теория погрешностей имеет объектом своего изучения в основном приближенные числа. При вычислениях вместо обычно используют приближенные числа: (если точность не особо важна), (если точность важна). Как проводить вычисления с приближенными числами, определять их погрешности – этим занимается теория приближенных вычислений (теория погрешностей).
В дальнейшем точные числа будем обозначать заглавными буквами , а соответствующие им приближенные – строчными
Погрешности, возникающие на том или ином этапе решения задачи можно условно разделить на три типа:
1) Погрешность задачи. Этот тип погрешности возникает при построении математической модели явления. Далеко не всегда оказывается возможным учесть все факторы и степень их влияния на окончательный результат. То есть, математическая модель объекта не является его точным образом, не является точным его описание. Такая погрешность является неустранимой.
|
|
2) Погрешность метода. Эта погрешность возникает в результате подмены исходной математической модели более упрощенной, например, в некоторых задачах корреляционного анализа приемлемой является линейная модель. Такая погрешность является устранимой, так как на этапах вычисления она может свестись к сколь угодно малой величине.
3) Вычислительная («машинная») погрешность. Возникает при выполнении арифметических операций компьютером.
Определение 1.1. Пусть – точное значение величины (числа), – приближенное значение той же величины (). Истинной абсолютной погрешностью приближенного числа называется модуль разности точного и приближенного значений:
. (1.1)
Пусть, например, =1/3. При вычислении на МК дали результат деления 1 на 3 как приближенное число =0,33. Тогда .
Однако в действительности в большинстве случаев точное значение величины не известно, а значит, нельзя применять (1.1), то есть нельзя найти истинную абсолютную погрешностью. Поэтому вводят другую величину, служащей некоторой оценкой (верхней границей для ).
Определение 1.2. Предельной абсолютной погрешностью приближенного числа , представляющее неизвестное точное число , называется такое возможно меньшее число, которого не превосходит истинная абсолютная погрешность , то есть . (1.2)
Для приближенного числа величин , удовлетворяющих неравенству (1.2), существует бесконечно много, но самым ценным из них будет наименьшее из всех найденных. Из (1.2) на основании определения модуля имеем , или сокращенно в виде равенства
|
|
. (1.3)
Равенство (1.3) определяет границы, в которых находится неизвестное точное число (говорят, что приближенное число выражает точное с предельной абсолютной погрешностью). Нетрудно видеть, что чем меньше , тем точнее определяются эти границы.
Например, если измерения некоторой величины дали результат см, при этом точность этих измерений не превосходила 1 см, то истинная (точная) длина см.
Пример 1.1. Дано число . Найти предельную абсолютную погрешность числа числом .
Решение: Из равенства (1.3) для числа ( =1,243; =0,0005) имеем двойное неравенство , то есть
(*)
Тогда задача ставится так: найти для числа предельную абсолютную погрешность , удовлетворяющую неравенству . Учитывая условие (*), получим (в (*) вычитаем из каждой части неравенства)
.
Так как в нашем случае , то , откуда =0,0035.
Ответ: =0,0035.
Предельная абсолютная погрешность часто плохо дает представление о точности измерений или вычислений. Например, =1 м при измерениях длины здания укажет, что они проводились не точно, а та же погрешность =1 м при измерениях расстояния между городами дает очень качественную оценку. Поэтому вводят другую величину.
Определение 1.3. Истинной относительной погрешностью числа , являющегося приближенным значением точного числа , называется отношение истинной абсолютной погрешности числа к модулю самого числа :
. (1.4)
Например, если соответственно точное и приближенное значения, то
.
Однако формула (1.4) неприменима, если не известно точное значение числа. Поэтому по аналогии с предельной абсолютной погрешностью вводят предельную относительную погрешность.
Определение 1.4. Предельной относительной погрешностью числа , являющегося приближенным значением неизвестного точного числа , называется возможно меньшее число , которого не превосходит истинная относительная погрешность , то есть
. (1.5)
Из неравенства (1.2) имеем ; откуда, учитывая (1.5)
. (1.6)
Формула (1.6) имеет большую практическую применимость по сравнению с (1.5), так как в ней не участвует точное значение. Учитывая (1.6), (1.3), можно найти границы, в которых заключается точное значение неизвестной величины:
(приближенное число выражает неизвестное точное число с предельной относительной погрешностью ). Ясно, что чем меньше , тем точнее вычисляются границы точного числа .
Пример 1.2. Учитывая данные примера 1.1, найти .
Решение: Имеем =0,0035, . Тогда = 0,0028.
Пример 1.3. Выяснить, какое из приближенных равенств точнее:
.
Решение: Для решения задачи необходимо найти предельные относительные погрешности чисел (), () и сравнить их.
1) Находим сначала предельные абсолютные погрешности. При помощи калькулятора вычисляем числа , с большим числом знаков: =0,2727(27), =4,2426.... Тогда имеем (по определению)
,
.
2) Теперь вычисляем предельные относительные погрешности, пользуясь формулой (1.6):
,
.
Итак, . Значит, первое равенство точнее второго.