Вычисление погрешностей при косвенных измерениях

Большинство измерений являются косвенными. В этом случае искомая величина Х является функцией нескольких переменных а, b, c…, значения которых можно найти прямыми измерениями: Х = f(a,b,c …).

Среднее арифметическое результата косвенных измерений будет равно:

<X> = f(< a >,< b >,< c >…).

Одним из способов вычисления погрешности является способ дифференцирования натурального логарифма функции Х = f(a,b,c …). Если, например, искомая величина Х определяется соотношением Х = , то после логарифмирования получаем: lnX = ln a + ln b + ln(c+d).

Дифференциал этого выражения имеет вид:

Применительно к вычислению приближенных значений его можно записать для относительной погрешности в виде:

e = . (4)

Абсолютная погрешность при этом рассчитывается по формуле:

DХ = <Х>×e (5)

Таким образом, расчет погрешностей и вычисление результата при косвенных измерениях производят в следующем порядке:

1) Проводят измерения всех величин, входящих в исходную формулу для вычисления конечного результата.

2) Вычисляют средние арифметические значения каждой измеряемой величины и их абсолютные погрешности.

3) Подставляют в исходную формулу средние значения всех измеренных величин и вычисляют среднее значение искомой величины:

<X> = f(< a >,< b >,< c >…).

4) Логарифмируют исходную формулу Х = f(a,b,c …) и записывают выражение для относительной погрешности в виде формулы (4).

5) Рассчитывают относительную погрешность e = .

6) Рассчитывают абсолютную погрешность результата по формуле (5).

7) Окончательный результат записывают в виде:

Х = Х_ср ± DХ e = …%

Абсолютные и относительные погрешности простейших функций приведены в таблице:

Функция	Абсолютная погрешность	Относительная погрешность
a+b	Da+Db
a-b	Da+Db
a×b	aDb+bDa


sin a
cos a

Правила округления

1. Если первая из отбрасываемых цифр в среднем значении измеряемой величины равна или больше пяти, то предшествующая цифра увеличивается на единицу, в противном случае последняя цифра остается без изменения.

2. Значение погрешностей округляется в сторону увеличения до одной значащей цифры (до двух – в случае, если первая цифра равна единице).

3. В среднем значении измеряемой величины указываются все цифры до последнего разряда, указанного в значении погрешности.

Пример 1:Абсолютная погрешность при измерении длины l составила Dl= 25,32м, среднее значение величины l _ср=335,89м. Результат измерений представляется следующим образом:

l = (340 ± 30)м e = 9%

Неправильные записи: , .