Теорема умножения вероятностей (Вентцель)

Событие называется независимым от события , если вероятность события не зависит от того, произошло событие или нет.

Событие называется зависимым от события , если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие или нет.

Рассмотрим примеры.

1) Опыт состоит в бросании двух монет; рассматриваются события:

– появление герба на первой монете,

– появление герба на второй монете.

В данном случае вероятность события не зависит от того, произошло событие или нет; событие независимо от события .

2) В урне два белых шара и один черный; два лица вынимают из урны по одному шару; рассматриваются события:

– появление белого шара у 1-го лица,

– появление белого шара у 2-го лица.

Вероятность события до того, как известно что-либо о событии , равна 2/3. Если стало известно, что событие произошло, то вероятность события становится равной ½, из чего заключаем, что событие зависит от события .

Вероятность события , вычисленная при условии, что имело место другое событие , называется условной вероятностью события и обозначается

Для условий последнего примера

; .

Условие независимости события от события можно записать в виде:

а условие зависимости – в виде:

Перейдем к формулировке и доказательству теоремы умножения вероятностей.

Теорема умножения вероятностей формулируется следующим образом.

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

. (3.3.1)

Докажем теорему умножения для схемы случаев. Пусть возможные исходы опыта сводятся к случаям, которые мы снова для наглядности изобразим в виде точек:

Предположим, что событию благоприятны случаев, а событию благоприятны случаев. Так как мы не предполагали события и несовместными, то вообще существуют случаи, благоприятные и событию , и событию одновременно. Пусть число таких случаев . Тогда

Вычислим , т.е. условную вероятность события в предположении, что имело место. Если известно, что событие произошло, то из ранее возможных случаев остаются возможными только те , которые благоприятствовали событию . Из них случаев благоприятны событию . Следовательно,