Неравенство Чебышева. Для случайной величины ξ, имеющей ограниченную дисперсию Dξ , для любого ε>0 справедливо неравенство Чебышева

Для случайной величины ξ, имеющей ограниченную дисперсию Dξ, для любого ε>0 справедливо неравенство Чебышева

Доказательство.

Пусть M ξ = a.Докажем неравенство для непрерывной случайной величины ξ с плотностью распределения P(x). Вероятность P(| ξ-a | ≥ ε) есть вероятность попадания случайной величины ξ в область, лежащую вне промежутка [ a-ε, a+ε].

Можно записать:

так как интеграл от неотрицательной функции при расширении области интегрирования может только возрасти. Аналогично доказывается неравенство Чебышева и для дискретной случайной величины ξ, только интегралы (вида ) заменяются соответствующими суммами