Тема I. Введение в теорию множеств
Вступление
До второй половины XIX в. понятие «множество» не рассматривалось в качестве математического («множество книг на полке», «множество человеческих добродетелей» и т.д. — это были чисто бытовые обороты речи). Теория множеств была создана как математическая дисциплина немецким математиком Г. Кантором (1845–1919) в 70-х годах XIX в., а спустя несколько десятилетий почти вся математика была построена на теоретико-множественной основе. Теория множеств — это прежде всего универсальный язык, с помощью которого создаются структурные модели тех или иных явлений. Надо понимать этот язык и уметь им пользоваться, чтобы лучше понимать язык всей математики.
Справочные материалы и примеры
Основные определения и обозначения
Понятие множества является неопределяемым понятием математики, как точка, число и т.д. Создатель теории множеств Г. Кантор определил множество как «объединение в одно целое объектов, хорошо различимых нашей интуицией или нашей мыслью», или «множество есть многое, мыслимое нами как единое».
|
|
Предметы, из которых состоит множество, называют элементами данного множества.
Множества обозначают большими буквами A, B, C, …, X, Y, Z, а их элементы — строчными a, b, c,…, x, y, z.
Запись хÎА означает, что объект х является элементом множества А (читается: «х элемент множества А» или «объект х принадлежит множеству А»). Если элемент х не принадлежит множеству А, то пишут хÏА.
Запись АÌ В означает, что каждый элемент множества А принадлежит множеству В (читается: «множество А содержится в множестве В» или «множество А является подмножеством множества В» (рис.1). | Рис. 1. Множество АÌВ |
Для наглядного представления множеств и отношений между ними пользуются так называемыми диаграммами Венна (или кругами Эйлера), на которых множество представляют как замкнутую линию, внутри которой находятся все элементы данного множества, а снаружи — элементы, не принадлежащие данному множеству.
Множество, состоящее из конечного числа элементов (причем не имеет значения, известно это число или нет, важно, что оно существует), называется конечным (элементы записываются в фигурных скобках), а множество, состоящее из бесконечного числа элементов, — бесконечным.
Множество, которое не содержит ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается символом Æ.
Фиксированное множество, включающее в себя все множества, с которыми проводятся данные рассуждения, называется универсальным (обозначается U и изображается на диаграммах Венна в виде прямоугольника).
|
|
Если множество А подмножество некоторого универсального множества U, тогда множество Ā, состоящее из всех элементов множества U, не принадлежащих А, называется дополнением множества А до U.
Примеры:
1. Пусть А — множество всех художественных книг в библиотеке, В — множество научно-популярной литературы, С — множество учебной литературы. Для всех этих множеств универсальным является множество всех книг в библиотеке, | ||||
так как множества А, В, С являются его подмножествами. Графически это можно изобразить, как на рис. 2. | Рис. 2. U — универсальное множество |
2. Пусть U множество всех студентов института, А — множество всех студентов факультета культурологии и художественного творчества, тогда Ā есть множество студентов всех остальных факультетов института.