Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения предела функции в точке:
Определение (по Коши): число А называется пределом функции в точке х0, если для любого положительного найдется такое положительное число , что для всех х х0, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .
Коротко это определение:
.
Определение (по Гейне):
Число А называется пределом функции в точке х0, если для любой последовательности допустимых значений аргумента хn, сходящейся к х0, последовательность соответствующих значений функции , , сходится к числу А.
Односторонние пределы:
число А называется пределом функции слева в точке x0, если для любого число >0 существует число = ()>0 такое, что при выполняется неравенство .
Предел слева записывают так:
Аналогично определяется предел функции справа:
.
Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами.
Предел функции при :
Число А называется пределом функции при , если для любого положительного числа существует такое число М=М() >0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство . Коротко: