§ Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:
т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что
§ Смешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и :
§ Смешанное произведение в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и , взятому со знаком "минус":
В частности,
§ Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
§ Геометрический смысл — Смешанное произведение по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами и ; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.
§ Смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивита:
(в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов).
15. Уравнение прямой (на плоскости), уравнение плоскости, заданных точкой и нормальным вектором.
Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
Ах + Ву + С = 0,
причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.
В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:
• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат
• А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох
• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу
• В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу
• А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох
Общее уравнение плоскости Ах+Ву+Сz+D=0
где - нормальный вектор плоскости.
Частные случаи общего уравнения плоскости:
1) By + Cz + D = 0 - параллельна оси Ox;
2) Ax + Cz + D = 0 - параллельна оси Oy;
3) Ax + By + D = 0 - параллельна оси Oz;
4) Cz + D = 0 - параллельна оси Oxy;
5) By + D = 0 - параллельна оси Oxz;
6) Ax + D = 0 - параллельна оси Oyz;
7) Ax + By + Cz = 0 - проходит через начало координат;
8) By + Cz = 0 - проходит через ось Ox;
9) Ax + Cz = 0 - проходит через ось Oy;
10) Ax + By = 0 - проходит через ось Oz;
11) z = 0 - плоскость Oxy;
12) y = 0 - плоскость Oxz;
13) x = 0 - плоскость Oyz.
Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору