Определение. Пусть — числовой ряд. Число называется n-ой частичной суммой ряда

Пусть — числовой ряд. Число называется n-ой частичной суммой ряда .

Сумма (числового) ряда — это предел частичных сумм S_n, если он существует и конечен. Таким образом, если существует число , то в этом случае пишут . Такой ряд называется сходящимся. Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то говорят, что ряд расходится.

[править] Сходимость числовых рядов

Свойство 1. Если ряд

(1.1)

сходится и его сумма равна S, то ряд

(1.2)

где c — произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (1.1) расходится и с ≠ 0, то ряд расходится.

Свойство 2. Если сходится ряд (1.1) и сходится ряд

,

а их суммы равны S ₁ и S ₂ соответственно, то сходятся и ряды

,

причём сумма каждого равна соответственно .