Задание 1. Решение задач на вычисление пределов функций -1 ч

  Цель: формирование умения раскрывать неопределенности вида и при вычислении пределов функции.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

 1.1. Выучите алгоритмы раскрытия неопределенностей вида и .

1.2. Найдите значение предела: , если: а) , б)

1.3. Найдите значение предела:

1.4. Найдите значение предела: , если: а) , б) , в)

 1.5. Найдите предел:

Методические указания по выполнению работы:

1. Предел функции в точке.

Вычисление пределов путем раскрытия неопределенности вида .

Число b называется пределом функции при х, стремящемся к х_о (или в точке х_о), если для любого наперед заданного существует такое , что для всех х, удовлетворяющих условиям , , имеет место неравенство: .

Если b есть предел функции при → то пишут: .

При решении задач необходимо знание алгоритмов раскрытия неопределенностей:

раскрытие неопределенностей при нахождении предела дробно-рациональных функций:

1. разложить числитель или (и) знаменатель на множители,
2. сократите дробь,
3. вычислите предел.

раскрытие неопределенностей при нахождении предела иррациональных функций:

1. домножить числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю или (и) знаменателю,
2. упростить выражение и сократить дробь,

3. вычислить предел.

Пример 1. Найдите предел: .

Решение.

Пример 2. Найдите предел: .

Решение.

=

1. Предел функции на бесконечности.

Вычисление пределов путем раскрытия неопределенности вида .

Число b называется пределом функции при →∞, если для любого наперед заданного существует такое , что для всех имеет место неравенство: .

Если b есть предел функции при →∞, то пишут: .

Для нахождения пределов функций на бесконечности часто используют два основных предела: и , где с – константа.

Раскрытие неопределенностей при нахождении предела дробно-рациональных функций:

1. делить числитель и знаменатель на переменную в большей степени,
2. применить свойство бесконечно малых и бесконечно больших величин,
3. вычислите предел.

Пример 3. Найдите предел:

Решение.

Замечание: большая степень числителя превышает большую степень знаменателя, следовательно, предел стремится к бесконечности.

Пример 4. Найдите предел:

Решение.

Замечание: большая степень числителя совпадает с большей степенью знаменателя, следовательно, предел - отличное от нуля число.

Пример 5. Найдите предел:

Решение.

Замечание: большая степень числителя меньше большей степени знаменателя, следовательно, предел равен нулю.

Список литературы:

1. Богомолов Н.В. Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике: Учебное пособие для ссузов Изд. 3-е,стереотип. Дрофа 2010 – Глава 6, § 1, стр. 76-80.

2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 6, § 31, стр. 188-198.

3. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 4, §2, стр. 182 – 192.