х 0 |
Нормаль |
j |
М0 |
у 0 |
Рис.5 |
х |
у |
Касательная |
Уравнение касательной, проходящей
через точку М0(х 0; у 0), имеет вид:
у-у 0= f′(x 0 )(х-х 0 ).
Прямая, перпендикулярная к
касательной и проходящая через
точку М0, называется нормалью.
Уравнение нормали в точке М0(х 0; у 0):
у-у 0= (х-х 0 ).
_________________
4.4.1. Написать уравнения касательной и нормали к данным кривым в заданной точке:
а) у=х 2-4 х +3, х 0=-1; б) у = х 2 е -х, х 0=1;
в) у=-х 2+6 х -5
в точках пересечения с осью ОY.
Ответ: а) у =-6 х +2; б) ; в) у =6 х- 5;
; у=-е+е+ ; -5.
4.4.2. В каких точках касательные к кривой параллельны прямой у =2 х -1?
Ответ: (3;-2); (-1; 2/3).
4.4.3. Найти площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции в точке х 0=-1.
Ответ: 4,5.
4.4.4. Через точку М(1;1) походят две касательные к графику функции f(x)= 2 x 2+4 x +3. Найти сумму абсцисс точек касания.
|
|
Ответ: 2.
4.4.5. Написать уравнения касательных к окружности х 2+ у 2+4 х -4 у +3-0 в точках пересечения ее с осью ОХ. Построить окружность и касательные.
Ответ: 2 у =- х -3; 2 у = х +1.
4.4.6. Найти точки пересечения нормали гиперболы х 2- у 2=9, проведенной из точки М(5;4) с асимптотами.
Ответ: ; (40;40).
_____________
4.4.7. Написать уравнения касательной и нормали к кривым:
а) у=х 3, х 0= -2; б) у =2 х-х 2 в точках пересечения кривой с осью ОХ;
в) у =2 х 2-5, у=х 2-3 х +5 в точках пересечения этих кривых.
Ответ: а) у= 12 х +24; б) у =2 х; у= -2 х +4;
; ; ;
в) у =8 х -16; у= ; у =-20 х -100; у = ; у = х -2; у = - х +2; у = -13 х -65; у = .
4.4.8. В каких точках касательные к кривой перпендикулярны к прямой у =2 х -5?
Ответ: (0;-1); (-2;3).
4.4.9. Написать уравнения касательных к астроиде х 2/3+ у 2/3= а 2/3 в точках пересечения ее с прямой у=х.
Ответ: .