(дополнительное рассмотрение)
Оценим разность , где t – любое фиксированное значение в промежутке , отличное от узлов интерполирования (таблицы). Предположим, что функция в этом промежутке имеет производные всех порядков до (n+1)-го включительно.
Введем в рассмотрение функцию - полином степени n.
Построим вспомогательную функцию ,
где C – const. также имеет производные всех порядков до (n+1)-го включительно.
Значение константы С выберем так, чтобы для какого-либо аргумента выполнялось : .
Поскольку не совпадает ни с одни узлом, то .
Вспомним теорему Ролля.
Если функция определена, непрерывна и дифференцируема на промежутке , а на концах промежутка функция принимает равные значения , то в промежутке найдется такая точка с (a<c<b), что .
На промежутке в точке и в n узлах вспомогательная функция n+2 раза обращается в 0, то есть имеет n+1 корень. Эти корни делят промежуток на n отрезков, на концах которых значения равны между собой (). Согласно теореме Ролля на отрезке 1-я производная n раз обращается в 0, то есть имеет n корней. Эти корни делят промежуток на n-1 отрезок, на концах которых значения равны между собой (). Поэтому, согласно теореме Ролля на отрезке 2-я производная n-1 раз обращается в 0, то есть имеет n-1 корень. Эти корни делят промежуток на n-2 отрезка, на концах которых значения равны между собой (). Поэтому, согласно теореме Ролля на отрезке 3-я производная n-2 раза обращается в 0, то есть имеет n-2 корня.
|
|
Продолжая, на n шаге получим один корень , где .
n производная от полинома n-1 степени – ноль: .
n производная от полинома n степени, легко проверить:
.
, откуда найдем
.
Вернемся к точке : ,
,
,
или, поскольку принимает произвольное значение , , перейдем к аргументу t
, . [9]
Это точное равенство – интерполяционная формула Лагранжа, здесь 2-е слагаемое и есть искомый остаточный член. Оценим его величину.
Пусть число на отрезке . Поскольку
, а , то ,
. Отсюда следует, что величина остаточного члена
.