Производная. Производная функции от одной переменной

Определение. Производной от функции f(x) называется предел отношения приращений функции к приращению аргумента, который стремится к нулю:

у(х) = dy/dx = lim y/ x.

x - 0

Геометрически производная – угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в любой его точке. АВ– касательная.

Механический смысл производной в случае, когда функция …… времени механический смысл заключается в том что производная от пути по времени есть скорость движения тела в любой момент времени: V = S (t).

Вторая производная есть ускорение: а = S (t).

Нахождение производной иначе называют дифференцированием функции.

Правила дифференцирования:

(СU) = C(U), где С – const;

(UV) = U V + V U;

(U m V) = U m V;

2

(U/V) = U V – V U;

Основные формулы дифференцирования:

x x 2

(с) = 0; 6) (a) = a lna; 11) (arcsinx) = 1/ 1 - x;

2

х = 1; 7) (sinx) = cosx; 12) (arccosx) = -1/ 1 - x;

n n-1 2

(х) = nx; 8) (cosx) = -sinx; 13) (arctgx) = 1/ 1 + x;

2 2

lnx = 1/x; 9) (tgx) = 1/cos x; 14) (arcctgx) = -1/ 1 + x;

x x 2

(е) = е 10) (ctgx) = -1/sin x;