Множественная регрессия – уравнение связи с несколькими независимыми переменными:
где - зависимая переменная (результативный признак);
- независимые переменные (факторы).
Линейная модель множественной регрессии имеет вид:
Yi = α0 + α1 xi 1 + α2 xi 2 +... + α mxim + ε i (4.1)
Коэффициент регрессии α j показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак Y, если переменную xj увеличить на единицу измерения, т.е. α j является нормативным коэффициентом. Обычно предполагается, что случайная величина ε i имеет нормальный закон распределения с математическим ожиданием равным нулю и с дисперсией σ2.
Анализ уравнения (4.1) и методика определения параметров становятся более наглядными, а расчетные процедуры существенно упрощаются, если воспользоваться матричной формой записи уравнения (4.2):
Y = X α + ε (4.2)
где Y — вектор зависимой переменной размерности n ×1, представляющий собой n наблюдений значений yj,
X — матрица n наблюдений независимых переменных Х 1, Х 2, Х 3,..., Хm, размерность матрицы X равна n ×(m +1);
α — подлежащий оцениванию вектор неизвестных параметров размерности (m +1) ×1;
ε — вектор случайных отклонений (возмущений) размерности n ×1.
Таким образом,
Уравнение (4.1) содержит значения неизвестных параметров α0, α1, α2,..., α m. Эти величины оцениваются на основе выборочных наблюдений, поэтому полученные расчетные показатели не являются истинными, а представляют собой лишь их статистические оценки. Модель линейной регрессии, в которой вместо истинных значений параметров подставлены их оценки (а именно такие регрессии и применяются на практике), имеет вид:
, (4.3)
где α — вектор оценок параметров; е — вектор «оцененных» отклонений регрессии, остатки регрессии ε = Y - X α; — оценка значений Y, равная Ха.
Для построения уравнения множественной регрессии чаще используются следующие функции:
линейная –
степенная –
экспонента –
гипербола - .
Можно использовать и другие функции, приводимые к линейному виду.