Распределение Пуассона

Соотношениями, описывающими биноминальное распределение, удобно пользоваться в тех случаях, если величина и достаточно мала, а р велико.

Теорема: Если, а так, что то

при любом k=0,1,….

Числовые характеристики: М[Х] = α, D[ X ] = α.

Закон Пуассона зависит от одного параметра α, смысл которого заключается в следующем: он является одновременно и математическим ожиданием и дисперсией случайной величины Х.

Непрерывная случайная величина Х называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения равна

,

где m - математическое ожидание случайной величины;

σ² - дисперсия случайной величины, характеристика рассеяния значений случайной величины около математического ожидания.

Условием возникновения нормального распределения являются формирование признака как суммы большого числа взаимно независимых слагаемых, ни одно из которых не характеризуется исключительно большой по сравнению с другими дисперсиями.

Нормальное распределение является предельным, к нему приближаются другие распределения.

Математическое ожидание случайной величины Х. распределено по нормальному закону, равно

m_x = m, а дисперсия D_x = σ².

Вероятность попадания случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, в интервале (α, β) выражается формулой

где - табулированная функция

5. Генеральная и выборочная совокупности.

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качествен­ного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность детали, а количественным—контролируемый размер детали.

Иногда проводят сплошное обследование, т. е. обследуют каждый из объектов совокупности относительно признака, которым интересуются. На практике, однако, сплошное обследование применяют сравнительно редко. Например, если совокупность содержит очень большое число объектов, то провести сплошное обследование физически невозможно. Если обследование объекта связано с его уничтожением или требует больших материальных затрат, то проводить сплошное обследование практически не имеет смысла. В таких случаях случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов и подвергают их изучению. Различают генеральную и выборочную совокупности:

Генеральной совокупностью называют совокупность всех мысленно возможных объектов данного вида, над которыми проводятся наблюдения с целью получения конкретных значений случайной величины, или совокупность результатов всех мыслимых наблюдений, проводимых в неизменных условиях над одной из случайных величин, связанных с данным видом объектов.

Замечание: Часто генеральная совокупность содержит конечное число объектов. Однако если это число достаточно велико, то иногда в целях упрощения вычислений допускают, что генеральная совокупность состоит из бесчисленного множества объектов. Такое допущение оправдывается тем, что увеличение объема генеральной совокупности (достаточно большого объема) практически не сказывается на результатах обработки данных выборки.

Выборочной совокупностью называют часть отобранных объектов из генеральной совокупности.

Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности. Например, если из 1000 деталей отобрано для обследования 100 деталей, то объем генеральной совокупности N = 1000, а объем выборки п =100.

Число объектов генеральной совокупности N значительно превосходит объем выборки n.

6. Выборочная средняя.

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака Х извлечена выборка объема n.

Выборочной средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Если все значения признака выборки различны, то

если же все значения имеют частоты n₁, n₂,…,n_k, то

Выборочная средняя является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной средней.

Замечание: Если выборка представлена интервальным вариационным рядом, то за x_i принимают середины частичных интервалов.