Рассмотрим 3ю предпосылку Г-М о независимости случайных переменных в уравнениях наблюдений
H0: Cov(ui, uj)= 0 при j, i = 1,2,…,n; i не равно j
Невыполнение данной предпосылки называется автокорреляцией случайных возмущений, причинами которой могут быть:
- ошибки спецификации модели (неучтенные регрессоры; неправильный вид функции регрессии)
- ошибки изменения переменных модели
- частота наблюдения
Невыполнение третьей предпосылки теоремы Гаусса – Маркова, или наличие взаимосвязи случайных переменных в модели называется автокорреляцией.
Для тестирования автокорреляции в регрессионных моделях наиболее часто применяется тест Дорбина-Уотсона (DW).
Рассмотрим случай взаимного влияния случайных возмущений в соседних наблюдениях (текущ., предшеств.).
В основе теста лежат следующие предпосылки:
1) случайные возмущения подчиняются нормальному закону распределения
2) случайные возмущения подчиняются следующему правилу
(гомоскедастичный остаток)
Статистика DW, c помощью которой тестируется модель на автокорреляцию, имеет вид:
где t-номер наблюдения, n-количество наблюдений
Найдем область определения статистики DW: (раскроем квадрат разности в числителе)
При Р=1, DW=4
При Р=1, DW=0
=> DW принадлежит [0:4]
Таким образом, критическое значение статистика DW зависит не только от значения доверительной вероятности, количества регрессоров в модели и числа наблюдений, но еще и от абсолютных значений регрессоров.
Данное обстоятельство не дает получить единое значение для любой выборки (модели) критическое значение .
В каждом конкретном случае необходимо искать свое , что неудобно.
Выяснилось, что можно найти отрезок [ ], внутри которого находятся все возможные значения . Тогда для принятия решения относительно наличия или отсутствия автокорреляции предлагается следующая схема DW:
1) строится отрезок [0;4], на котором отмечаются значения ;
2) Возможны следующие варианты (куда попадает реальное значение DW):
а) если реальное значение DW попало в отрезки от [ ] и [ ], то автокорреляция существует (что плохо, т.к. случайные переменные влияют друг на друга) и гипотеза об отсутствии автокорреляции отклоняется)
б) если DW попало в отрезок [ ,то автокорреляции нет, т.е. гипотеза принимается
в) если реальное значение DW находится в отрезках [ ] и [ ], то невозможно сказать есть или нет автокорреляция, т.е. значение DW попало в зону неопределенности (единств.способ раскрыть неопределенность воспользоваться другой выборкой, в качестве измененной выборки может служить исходная с измененной последовательностью наблюдений).
Алгоритм теста DW:
Шаг 1. по результатам наблюдений оценить модель линейной регрессии
Шаг 2. для каждого оцененного уравнения, рассчитывается (оценивается) случайные возмущения
Шаг 3. по соответствующим статистическим таблицам находим значении и , через k и n (доверит.вероятность 0,95)
Шаг 4. Проверяем в какой интервал на отрезке попал DW.