Метод наименьших квадратов минимизирует сумму квадратов отклонений реальных наблюдений за эндогенной переменной от её значения, рассчитанного по модели. Является методом решения задачи: оценить неизвестные параметры регресс.модели, проверить гипотезы об их значимости и адекватности модели анализируемому эк.объекту.
МНК позволяет находить оценки, обеспеч.макс.точность (мин.дисперсию) в классе несмещённых и линейно связанных с наблюдениями y оценками.
мнк = arg min ,
- оценённое (подстановочное) значение энд.пер-ной от включения оценок неизвестных параметров
= + +…+ .
Тогда критерием качества оценивания явл. сумма квадратов реально зарегистрированных и подстановочных значений: - остаток (отклонение)модели.
МНК-оценки: мнк = - , мнк = ,
где = , = .
= + (МНК)*х.
Оптимальность оценок МНК означает наличие свойств:
1) оценки а0 и а1 имеют нормальные вероятностные законы распределения и обладают свойством несмещённости, т.е. мат.ожидание оценки = соотв. характеристике генеральной совокупности (искомому параметру): M{ } = , M{ } = .
|
|
Если св-во нарушается, возникает смещённость b=M
M{ (МНК)}= + ΣM{ }= ;
Дисперсия этой оценки: D{ (МНК)} = D{ } + = = = . Но т.к. она неизвестна=>
Дисперсию заменяют несмещённой оценкой: = = .
2)предел оценки с ростом выборки n равен истинному значению параметра: = a, P = (| |<ε)→1.
3) если несмещённая, причём D =minD , A, т.е. обладает равномерно-минимальной дисперсией, то - эффективная (оптимальная).
Фундаментальное свойство МНК: МНК-оценки параметров линейной регрессии обладают наименьшими дисперсиями среди множества всех несмещённых и линейно-зависимых от энд.перемен оценок в рамках модельных предположений 1-4. (Th Гаусса-Маркова)
Кроме точечных оценок использ. интервальные.
Доверительный интервал для :
(МНК) - < < (МНК) + ,
γ = 1-α, α – уровень значимости, = St(T-2), - квантиль по табл Стьюдента.
Доверительный интервал для :
(МНК) - < < (МНК) + ,
где = - .