Глоссарий. 1. Уравнение Y t = b 0 + b 1 X t + e t , t = 1,.,n

1. Уравнение Y _t = b ₀ + b ₁ X _t + e _t, t = 1,….,n,

где

X _t -неслучайная (детерминированная) величина, Y _t, b ₀ и b ₁ – неизвестные параметры, e _t -случайные величины, называется линейным регрессионным уравнением.

Y _t называется объясняемой (зависимой) переменной, а X _t - объясняющей (независимой) переменной или регрессором

2. Основные гипотезы:

1. Y _t = b ₀ + b ₁ X _t + e _t , t = 1,….,n, - спецификация модели.

2. X _t - детерминированная величина;

3. e _i - случайная величина, удовлетворяющая следующим предпосылкам

3а). Ee _t = 0, (ЕY _t =b ₀ + b ₁ X _t), E (e _t²) = V(e _t) = s ², (V(Y _t) = s ²) - не зависит от t.

3б). E(e _t e _s) = 0 (Cov (Y _t, Y _s)=0), t ¹ s - некоррелированность ошибок для разных наблюдений.

Часто добавляется условие:

3в). e _t ~ N(0, s ²), т.е. e _t - нормально распределенная случайная величина со средним 0 и дисперсией s ².

Условие независимости дисперсии ошибки от номера наблюдений E (e _t²) = s ², t = 1,….,n, называется гомоскедастичностью (а); случай, когда условие гомоскедастичности не выполняется, называется гетероскедастичностью (б).

Теорема Гаусса - Маркова.

Для модели 1 -3ab:

оценки b ₀, b ₁ параметров регрессии, полученные по методу наименьших квадратов, имеют наименьшую дисперсию в классе всех линейных несмещенных оценок s ².

3. Коэффициентом детерминации R ² или долей объясненной дисперсии называется

R ² = 1 - = .

Q - вся дисперсия, Q _e - остаточная дисперсия, Q _R - объясненная часть всей дисперсии.

4. Классическая нормальная линейная модель множественной регрессии.

Модель множественной регрессии:

y _i = b ₀ + b ₁ x _i1 + b ₂ x _i3 + b _p x _{i p} + e _i i = 1,2, … n;

где х _tp - значения регрессора х _p в наблюдении t.

Основные гипотезы, лежащие в основе модели множественной регрессии, являются естественным обобщением модели парной регрессии:

1. y _i = b ₀ + b ₁ x _i1 + b ₂ x _i3 + b _p x _{i p} + e _i i = 1,2, … n;

- спецификация модели.

2. x _{i 1}, x _{i 2},…. x _{i p} -детерминированные величины. Векторы х _s = (x _1s, …. x _{n s})', s = 1,….p линейно независимы в R ⁿ.

3. e _i - случайная величина, удовлетворяющая следующим предпосылкам:

3a) Е(e _i) = 0; D (e _i) = s ² для любого i;

3б) e _i и e _j не коррелированы: Е(e _i, e _j) = 0 при i ¹ j; выводится из условия некоррелированности Cov (e _i, e _j) = 0; (Cov (e _i, e _j) = Е[(e _i - 0) ((e _j - 0)]) = Е(e _i, e _j) = 0).

Часто добавляется условие:

3в). e _t ~ N(0, s ²), т.е. e _t - нормально распределенная случайная величина со средним 0 и дисперсией s ².

В этом случае модель называется нормальной линейной регрессионной.

Все эти условия удобно записать в матричной форме:

У = Х × b + e или

у _i = b ₀ + + e _i, i = 1,2,….n.

где У = (у ₁,…у _n) ' - вектор значений зависимой переменной;

- матрица значений объясняющих переменных, в которую дополнительно введен столбец, все элементы которого равны 1, т.е. условно полагается, что модели (МР1) свободный член b ₀ умножается на фиктивную переменную х _{i 0}, принимающую значение 1 для всех i:

х _{i 0} =1 (i = 1,2,….n);

b = (b ₀, b ₁, …… b _p)' - вектор параметров размера (р + 1); e = (e ₁,e ₂,…. e _n) - вектор возмущений (случайных ошибок) размера n.

Теорема Гаусса - Маркова.

Предположим, что:

1. у = Х b + e;

2. Х - детерминированная n ´ (p+1) матрица, имеет максимальный ранг (p+1);

3. Е(e) = 0; Е(e e ') = s ² 1 _n.

4. e - нормально распределенный случайный вектор e ~ N(0, s ²1 _n);

5. r (X) = p + 1 < n

Тогда при выполнении предпосылок (1-3, 5) оценка МНК b = (X ' X) ^{- 1} X ' y является наиболее эффективной (в смысле наименьшей дисперсии) оценкой в классе линейных (по у) несмещенных оценок.

5. Ковариационная матрица и ее выборочная оценка.

Вариации оценок параметров будут определять точность уравнения множественной регрессии. Для их вычисления используют ковариационную матрицу вектора оценок параметров å _b.

å _b = ,

где s _ij ² - ковариации (корреляционные моменты) оценок параметров b _i и b _j.

s _ij ² = Е[ (b _i - Е(b _i))(b _j - Е(b _j))]. (МР7)

Ковариация характеризует как степень рассеяния значений двух переменных относительно их математических ожиданий, так и взаимосвязь этих переменных.

Оценка дисперсии ошибок s ². Распределение s ².

S ² = =

является несмещенной оценкой дисперсии ошибок (возмущений) s ², т.е. Еs ² = s ².

6. Оценка значимости коэффициентов регрессии b _j.

Значимость коэффициентов регрессии b _j можно проверить, если учесть, что статистика (b _j - b _j0)/ s _{b j} имеет t - распределение Стьюдента с к = n - p - 1 степенями свободы. Поэтому b _j значимо отличается от нуля (т.е. гипотеза Н ₀ о равенстве параметра b _j нулю Н ₀: b _j0 = 0, отвергается) на уровне значимости a, если , где t _{1 - a; n - p -1} - табличное значение t - критерия Стьюдента, определенное на уровне значимости a при числе степеней свободы к = n - p - 1.

7. Доверительный интервал для параметра b _j есть

b _j - t _{1 - a; n - p -1} s _{b j} £ b _j £ b _j + t _{1 - a; n - p -1} s _b

8. Доверительный интервал для функции регрессии или для условного математического ожидания зависимой переменной Е _х(У):

- t _{1 - a; k} < Е(Y) < + t _{1 - a; k}

где - групповая средняя, определяемая по уравнению регрессии,

= - ее стандартная ошибка.

9. Доверительный интервал для индивидуальных значений зависимой переменной у *₀ примет вид:

- t _{1 - a; n - p -1} < у *₀ < + t _{1 - a; n - p - 1} ,

где = .

10. Доверительный интервал для параметра s ² в множественной регрессии:

.

11. Оценка значимости уравнения регрессии.

Проверить значимость уравнения регрессии - значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных для описания зависимой переменной.

При отсутствии линейной зависимости между зависимой переменной и объясняющей переменными несмещенные оценки дисперсий s²_R = Q_R/(m - 1) и s²_e = Q_e/(n - m) имеют c ² -распределение с соответственно к = m - 1 и к = n - m степенями свободы, а их отношение - F -распределение с теми же степенями свободы. Поэтому уравнение регрессии значимо на уровне a, если фактически наблюдаемое значение статистики

F = > F_{a; k1;k2},

где F_{a; k1;k2} - табличное значение F - критерия Фишера - Снедекера, определенное на уровне значимости a при к ₁ = m - 1 и к ₂ = n - m степенях свободы.

Значение F показывает, в какой мере регрессия лучше оценивает значение зависимой переменной по сравнению с ее средней.

12. Оценка значимости коэффициента корреляции при отсутствии корреляционной связи статистика t = имеет распределение Стьюдента с (n - 2) степенями свободы. Коэффициент корреляции r значим на уровне a (т.е. гипотеза Н ₀ о равенстве генерального коэффициента корреляции r = 0 отвергается), если

½ t½ = > t _{1 - a; n - 2}.

13. Под мультиколлинеарностью понимается высокая взаимная коррелированность объясняющих переменных.

14. Автокорреляции ошибок, если E(e _t e _s) = r ¹ 0,

15. Стандартизированные коэффициенты регрессии b'_j и коэффициенты эластичности Е _j (j = 1,….p):

b'_j = ;

E _j = .

Стандартизированный коэффициент регрессии b'_j показывает, на сколько величин s _y изменится в среднем зависимая переменная У при увеличении только j -ой объясняющей переменной на s _{x j}, а коэффициент эластичности Е _j - на сколько процентов (от средней) изменится в среднем У при увеличении только Х _j на 1 %.

16. Временным рядом (динамическим рядом или рядом динамики) в экономике называется последовательность наблюдений некоторого признака (случайной величины) У в последовательные моменты времени. Отдельные наблюдения называются уровнями ряда, которые обозначаются у _t (t = 1,2,….n), где n - число уровней.

В общем виде при исследовании экономического временного ряда у _t выделяются несколько составляющих:

у _t = u _t + n _t + c _t + e _t t = 1,2,….n,

где u _t - тренд,

n _t - сезонная компонента,

c _t - циклическая компонента,

e _t - случайная компонента,

u _t, n _t, c _t - закономерные, неслучайные составляющие.

17. Стационарные временные ряды.

Временной ряд у _t (t=1,2,…,n) называется строго стационарным, если совместное распределение вероятностей n наблюдений у ₁, у ₂,…..у_n такое же, как и n наблюдений у _{1 + t}, у _{2 + t},…у _{n + t} при любых n, t и t, т.е. свойства строго стационарных рядов у _t (закон распределения и его числовые характеристики) не зависят от момента t.

18. Степень тесноты связи между последовательностями наблюдений временного ряда у ₁, у ₂,…у _n и у _{1 + t}, у _{2 + t},….у _{n + t} (сдвинутых относительно друг друга на t единиц, т.е. с лагом t) может быть определена с помощью коэффициента корреляции

так как Е(у _t) = Е(у _{t + t}) = a, s _y(t) = s _y(t + t) = s.

Так как коэффициент r(t) измеряет корреляцию между членами одного и того же ряда, его называют коэффициентом автокорреляции, а зависимость r(t) - автокорреляционной функцией. В силу стационарности временного ряда у _t автокорреляционная функция r(t) зависит от лага t, причем r(- t) = r(t), т.е. при r(t) можно ограничиться рассмотрением только положительных значений t.

19. Статистической оценкой r(t) является выборочный коэффициент автокорреляции r(t), определяемый по формуле

r(t) = .

Функцию r(t) называют выборочной автокорреляционной функцией, а ее график - коррелограммой.

Контрольные вопросы к итоговой аттестации

1. Предмет, задачи, критерии и принципы эконометрики.

2.Типы моделей, используемые для анализа и прогноза экономических процессов.

3.Метод наименьших квадратов.

4.Основные эконометрические методы.

5. Построение модели парной регрессии.

6. Теорема Гаусса - Маркова.

7.Построение модели множественной регрессии.

8.Оценка коэффициентов линейной регрессии.

9.Коэффициент корреляции.

10. Коэффициент детерминации.

11.Мультиколлинеарность. Тесты на наличие мультиколлинеарности.

12.Тесты на устранение мультиколлинеарности.

13. Гомогедастичность и гетероскедастичность. Тесты на наличие гетероскедастичности

13. Тесты на устранение гетероскедастичности.

14.Фиктивные переменные. Критерий Чоу.

15.Временные ряды. Стационарные и нестационарные временные ряды.

16.Автокорреляция остатков временного ряда. Тесты на наличие автокорреляции.

17. Устранение автокорреляции.

18. Понятие об авторегрессионных моделях.

19. Модели скользящей средней.

20.Метод инструментальных переменных.

21.Оценивание моделей с распределенными лагами.

22. Системы одновременных уравнений.

23. Двухшаговый метод наименьших квадратов.

24. Трехшаговый метод наименьших квадратов.