Свойства коэффициентов регрессии существенным образом зависят от свойств случайной составляющей. Для того чтобы регрессионный анализ, основанный на обычном методе наименьших квадратов, давал наилучшие из всех возможных результаты, должны выполняться следующие условия, известные как условия Гаусса – Маркова.
1. Математическое ожидание случайной составляющей в любом наблюдении должно быть равно нулю. Иногда случайная составляющая будет положительной, иногда отрицательной, но она не должна иметь систематического смещения ни в одном из двух возможных направлений.
2. В модели () возмущение (или зависимая переменная ) есть величина случайная, а объясняющая переменная - величина неслучайная.
Если это условие выполнено, то теоретическая ковариация между независимой переменной и случайным членом равна нулю.
3. предполагает отсутствие систематической связи между значениями случайной составляющей в любых двух наблюдениях. Например, если случайная составляющая велика и положительна в одном наблюдении, это не должно обусловливать систематическую тенденцию к тому, что она будет большой и положительной в следующем наблюдении. Случайные составляющие должны быть независимы друг от друга.
|
|
В силу того, что , данное условие можно записать следующим образом:
Возмущения не коррелированны (условие независимости случайных составляющих в различных наблюдениях).
Это условие означает, что отклонения регрессии (а значит, и сама зависимая переменная) не коррелируют. Условие некоррелируемости ограничительно, например, в случае временного ряда . Тогда третье условиеозначает отсутствие автокорреляции ряда .
4. дисперсия случайной составляющей должна быть постоянна для всех наблюдений. Эта постоянная дисперсия обычно обозначается , или часто в более краткой форме , а условие записывается следующим образом:
Величина , конечно, неизвестна. Одна из задач регрессионного анализа состоит в оценке стандартного отклонения случайной составляющей. Это условие гомоскедастичности, или равноизменчивости случайной составляющей (возмущения).
Предположение о нормальности Наряду с условиями Гаусса— Маркова обычно также предполагается нормальность распределения случайного члена. Дело в том, что если случайный член нормально распределен, то так же будут распределены и коэффициенты регрессии.