Автокорреляционная функция. При наличии во временном ряде тренда и циклической компоненты значения каждого последующего уровня ряда становятся зависящими от предыдущих

При наличии во временном ряде тренда и циклической компоненты значения каждого последующего уровня ряда становятся зависящими от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда. Количественно ее можно измерить с помощью коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

Пусть

и –

две последовательности наблюдений временного ряда, сдвинутые друг относительно друга на l единиц, или, как говорят, с лагом l. Степень тесноты линейной связи между ними может быть оценена с помощью выборочного коэффициента корреляции

. (7.6)

Так как коэффициент r (l) измеряет корреляцию между членами одного и того же ряда, его называют выборочным коэффициентом автокорреляции (или просто коэффициентом автокорреляции), зависимость r (l) – автокорреляционной функцией, а ее график – коррелограммой.

Лаг (сдвиг во времени) определяет порядок коэффициента автокорреляции. Если l = 1, то имеем коэффициент автокорреляции 1-го порядка; если l = 2, то коэффициент автокорреляции 2-го порядка и т. д.

При расчете r (l) следует помнить, что с увеличением l число (n – l) пар наблюдений y_t, y_{t + l} (t = 1, 2, …, n – l) уменьшается. Поэтому лаг l должен быть таким, чтобы число (n – l) было достаточным для определения r (l). Обычно ориентируются на соотношение l £ n /4.

Рассчитав несколько коэффициентов автокорреляции, можно определить лаг l, при котором автокорреляция r (l) наиболее высокая, выявив тем самым структуру временного ряда. Если наиболее высоким оказывается r (1), то исследуемый ряд содержит только тренд. Если наиболее высоким оказался r (l), то ряд содержит (помимо тренда) колебания с периодом l. Если ни один из r (1), r (2), …, r (l) не является значимым, можно сделать одно из двух предположений:

· либо временной ряд не содержит тренда и циклических колебаний, а его уровень определяется только случайной компонентой;

· либо ряд содержит сильный нелинейный тренд, для выявления которого нужен дополнительный анализ.

Пример 7.2. По данным временного ряда примера 7.1 выявить его структуру.

Решение. Поскольку n /4 = 8/4 = 2, то в соответствии с приведенной выше рекомендацией будем рассматривать коэффициенты автокорреляции r (l) временного ряда для лагов l = 1, 2.

Найдем коэффициент автокорреляции 1-го порядка r (1), т.е. коэффициент корреляции между последовательностями (n – l) = 8 – 1 = 7 пар наблюдений y_t и y_{t + 1} (t = 1, 2, …, 7):

Вычисляем необходимые суммы:

.

Теперь по формуле (7.3) коэффициент автокорреляции 1-го порядка

.

Коэффициент автокорреляции r (2) 2-го порядка между членами ряда наблюдений y_t и y_{t+ 2} (t = 1, 2, …, 6) по шести парам наблюдений вычисляется аналогично: r (2) = 0, 842.

Так как r (2) > r (1), то полагаем, что анализируемый временной ряд содержит трендовую составляющую и циклическую составляющую с периодом 2 года. g